Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regioes dadas:
integral duplaR v(u-v^2)^4 d A, R=[0,1] times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR vl(u - v^2r)^4,dA, R = [0,1]times[0,1]
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Fubini para trocar a integral dupla por iteradas, depois uma substituição simples para integrar em u e, em seguida, outra substituição (ou o uso da função Beta) para integrar em v.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada e integramos primeiro em u:
integral duplaR vl(u - v^2r)^4,dA = integralv=0^1!integralu=0^1vl(u - v^2r)^4,du,dv
Para a integral interna use a mudança de variável
t = u - v^2, dt = du, u=0mapsto t=-v^2,;;u=1mapsto t=1-v^2
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integralu=0^1vl(u - v^2r)^4,du = vintegral-v^2^1-v^2t^4,dt = v5l[(1-v^2)^5-(-v^2)^5r] = v5l[(1-v^2)^5+v^10r]

Passo 3

Substituindo na integral em v, temos
integral duplaRv(u-v^2)^4,dA = integral0^1v5l[(1-v^2)^5+v^10r],dv = 15integral0^1v(1-v^2)^5,dv + 15integral0^1v^11,dv

Passo 4

Calculemos cada integral em v separadamente.
Para integral0^1v(1-v^2)^5,dv, use s=v^2, ds=2v,dv, obtendo
integral0^1v(1-v^2)^5,dv = 12integral0^1(1-s)^5,ds = 12cdot16 = 112
Para integral0^1v^11,dv temos
integral0^1v^11,dv = 112

Passo 5

Somando e multiplicando por 1/5,
integral duplaRv(u-v^2)^4,dA = 15l(tfrac112+tfrac112r) = 15cdot16 = 130

Resposta

130

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