Lembre que, para todo inteiro
,
. Utilizando este fato, podemos concluir que a soma
é igual a?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a soma
. Estamos trabalhando com somas de termos que envolvem multiplicação de números consecutivos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de soma de números inteiros e somas de quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que está sendo somado. Cada termo da soma é da forma
, onde
varia de 1 até 79. Então, podemos reescrever a soma assim:
Passo 3
Agora, vamos simplificar
. Multiplicando os termos, temos:
Então, a soma original fica:
Passo 4
Essa soma pode ser dividida em duas partes separadas:
Agora, vamos calcular cada uma dessas somas individualmente.
Passo 5
Primeiro, a soma dos quadrados dos primeiros n números inteiros é dada pela fórmula:
Aqui,
. Vamos calcular:
Passo 6
Calculando os valores:
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda soma, que é a soma dos primeiros n números inteiros:
Novamente, com
:
Passo 8
Agora, somamos os dois resultados que obtivemos:
Resposta
A soma
é igual a 170.760.