Lembre que, para todo inteiro n >= 0, 1+x+x^wed>= 2+x^wed>= 3+cdots+x^wed>= n=(x^wed>= n+1-1) / x-1. Utilizando este fato, podemos concluir que a soma 1 cdot 2+2 cdot 3+3 cdot 4+cdots+79 cdot 80 é igual a?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a soma 1 cdot 2 + 2 cdot 3 + 3 cdot 4 + cdots + 79 cdot 80. Estamos trabalhando com somas de termos que envolvem multiplicação de números consecutivos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de soma de números inteiros e somas de quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que está sendo somado. Cada termo da soma é da forma k cdot (k + 1), onde k varia de 1 até 79. Então, podemos reescrever a soma assim:
sumk=1^79 k(k + 1)

Passo 3

Agora, vamos simplificar k(k + 1). Multiplicando os termos, temos:
k(k + 1) = k^2 + k
Então, a soma original fica:
sumk=1^79 (k^2 + k)

Passo 4

Essa soma pode ser dividida em duas partes separadas:
sumk=1^79 k^2 + sumk=1^79 k
Agora, vamos calcular cada uma dessas somas individualmente.

Passo 5

Primeiro, a soma dos quadrados dos primeiros n números inteiros é dada pela fórmula:
sumk=1^n k^2 = n(n + 1)(2n + 1)6
Aqui, n = 79. Vamos calcular:
sumk=1^79 k^2 = 79 cdot 80 cdot 1596

Passo 6

Calculando os valores:
79 cdot 80 cdot 1596 = 79 cdot 80 cdot 1596 = 10056006 = 167600

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda soma, que é a soma dos primeiros n números inteiros:
sumk=1^n k = n(n + 1)2
Novamente, com n = 79:
sumk=1^79 k = 79 cdot 802 = 63202 = 3160

Passo 8

Agora, somamos os dois resultados que obtivemos:
167600 + 3160 = 170760

Resposta

A soma 1 cdot 2 + 2 cdot 3 + 3 cdot 4 + cdots + 79 cdot 80 é igual a 170.760.

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