Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regioes dadas:
integral duplaR x y raizx^2+y^2 d A, R=[0,1] times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = integral duplaR x,yraizx^2+y^2,dA,
sobre a região retangular R=[0,1]times[0,1]. O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini, integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos
I = integral0^1!integral0^1 x,yraizx^2+y^2,dy,dx
Para x fixo, calculamos a integral interna em y:
integral0^1 yraizx^2+y^2,dy
Usando a antiderivada
integral yraizx^2+y^2,dy = 13(x^2+y^2)^3/2,
avaliada de 0 a 1, obtemos
integral0^1 yraizx^2+y^2,dy = 13l((x^2+1)^3/2-x^3r)
Logo
I = integral0^1 xcdot13l((x^2+1)^3/2-x^3r),dx = 13integral0^1 x(x^2+1)^3/2,dx - 13integral0^1 x^4,dx

Passo 3

Calculamos separadamente
integral0^1 x^4,dx = 15,
e
integral0^1 x(x^2+1)^3/2,dx
Para esta última, fazemos a substituição u=x^2+1, du=2x,dx, com u(0)=1, u(1)=2, obtendo
integral0^1 x(x^2+1)^3/2,dx = 12integral1^2 u^3/2,du = 12cdot25l(2^5/2-1r) = 2^5/2-15
Substituindo em I:
I = 13cdot2^5/2-15 - 13cdot15 = 2^5/2-215

Passo 4

Reconhecendo 2^5/2=4raiz2, simplificamos
I = 4raiz2-215 = 2(2raiz2-1)15

Resposta

2(2raiz2-1)15

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