Relacione a transformada de Laplace ou a transformada de Laplace inversa com a propriedade adequada para resolver cada item abaixo. Justifique suas respostas com argumentos matemáticos. Na sequência, calcule a transformada indicada utilizando a propriedade relacionada.
(a) L^-11s^2-6 s+9
( ) Lf(t-c) U(t-c)=e^-c s F(s)
(b) Lt cos (2 t)
( ) L^-1F(s) G(s)=(f * g)(t)
(c) Lf(t) onde f(t)=rrt, & 0 <= t<2 0, & t >= 2
( ) \mathcal{L}{-1}{F(s-c)}=e{c t} f(t)$
(d) L^-11s^2(s-1)
( ) Lt^n f(t)=(-1)^n d^nd s^n F(s)
(a)
Propriedade:

Justificativa:

Resolução:

(b)
Propriedade:
Justificativa:

Resolução:

(c)
Propriedade:
Justificativa:
Resolução:
(d)
Propriedade:
Justificativa:
Resolução:

Passo 1

O enunciado pede para cada item (a)–(d) relacionar a transformada de Laplace (ou sua inversa) com uma das quatro propriedades dadas e em seguida calcular a transformada indicada. O conteúdo é teoria de transformada de Laplace, envolvendo deslocamento no domínio de s, derivação em s, janelamento no tempo e convolução. Vamos, para cada item, (i) identificar a propriedade, (ii) justificar matematicamente e (iii) fazer o cálculo.

Passo 2

(a) L^-1!ltfrac1s^2 -6s+9r
Propriedade:
L^-1F(s-c)=e^c tf(t)
Justificativa:
Observe que
1s^2-6s+9=1(s-3)^2,
que é da forma F(s-c) com c=3 e F(s)=1/s^2. Sabemos que
L^-1l1s^2r=t
Pelo deslocamento,
L^-1l1(s-3)^2r=e^3t,t

Passo 3

(b) Ltcos(2t)
Propriedade:
Lt^n f(t)=(-1)^nd^nds^nF(s)
Justificativa:
Aqui n=1 e f(t)=cos(2t) cuja transformada é
F(s)=Lcos(2t)=ss^2+4
Logo
Ltcos(2t) =-ddsl(ss^2+4r) =-(s^2+4)-2scdot s(s^2+4)^2 =s^2-4(s^2+4)^2

Passo 4

(c)
Propriedade:
Justificativa:
Podemos escrever
e usar a propriedade de deslocamento para o segundo termo. Mas é mais direto calcular
Usando a fórmula
com (a=2], resulta

Passo 5

(d) L^-1!ltfrac1s^2(s-1)r
Propriedade:
L^-1F(s),G(s)=(f*g)(t)
Justificativa:
Escrevemos
1s^2(s-1) =1s^2;cdot;1s-1
cuja inversa é convolução de f(t)=t e g(t)=e^t. Então
(f*g)(t)=integral0^ttau;e^,t-tau,dtau =e^tintegral0^ttau e^-tau,dtau =e^tl[1-e^-t(t+1)r] =e^t-t-1

Resposta

(a) Propriedade L^-1F(s-c)=e^ctf(t),
L^-1!ltfrac1s^2-6s+9r=t,e^3t
(b) Propriedade Lt^n f(t)=(-1)^ndfracd^nds^nF(s),
Ltcos(2t)=s^2-4(s^2+4)^2
(c) Propriedade Lf(t-c) U(t-c)=e^-csF(s),
Lf(t)=1-e^-2s(2s+1)s^2
(d) Propriedade L^-1F(s)G(s)=(f*g)(t),
L^-1!ltfrac1s^2(s-1)r=e^t-t-1

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