Relacione a transformada de Laplace ou a transformada de Laplace inversa com a propriedade adequada para resolver cada item abaixo. Justifique suas respostas com argumentos matemáticos. Na sequência, calcule a transformada indicada utilizando a propriedade relacionada.
(a)
( )
(b)
( )
(c) onde
( ) \mathcal{L}{-1}{F(s-c)}=e{c t} f(t)$
(d) L^-11s^2(s-1)
( ) Lt^n f(t)=(-1)^n d^nd s^n F(s)
(a)
Propriedade:
Justificativa:
Resolução:
(b)
Propriedade:
Justificativa:
Resolução:
(c)
Propriedade:
Justificativa:
Resolução:
(d)
Propriedade:
Justificativa:
Resolução:
Passo 1
O enunciado pede para cada item (a)–(d) relacionar a transformada de Laplace (ou sua inversa) com uma das quatro propriedades dadas e em seguida calcular a transformada indicada. O conteúdo é teoria de transformada de Laplace, envolvendo deslocamento no domínio de s, derivação em s, janelamento no tempo e convolução. Vamos, para cada item, (i) identificar a propriedade, (ii) justificar matematicamente e (iii) fazer o cálculo.
Passo 2
(a) L^-1!ltfrac1s^2 -6s+9r
Propriedade:
L^-1F(s-c)=e^c tf(t)
Justificativa:
Observe que
1s^2-6s+9=1(s-3)^2,
que é da forma F(s-c) com c=3 e F(s)=1/s^2. Sabemos que
L^-1l1s^2r=t
Pelo deslocamento,
L^-1l1(s-3)^2r=e^3t,t
Passo 3
(b) Ltcos(2t)
Propriedade:
Lt^n f(t)=(-1)^nd^nds^nF(s)
Justificativa:
Aqui n=1 e f(t)=cos(2t) cuja transformada é