Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões R dadas:
f(x, y)=y \sin (x y), R=[1,2] \times [0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R} f(x,y)\,dA
onde f(x,y)=y\sin(xy) e R=[1,2]\times[0,\pi].
Vamos usar integração iterada, primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Escrevendo a integral iterada, temos
\iint_{R}y\sin(xy)\,dA =\int_{x=1}^{2}\Bigl(\int_{y=0}^{\pi}y\sin(xy)\,dy\Bigr)dx.

Passo 3

Para calcular
\int_{0}^{\pi}y\sin(xy)\,dy
fazemos integração por partes em y, tomando \displaystyle u=y, \displaystyle dv=\sin(xy)\,dy.
Então \displaystyle du=dy e \displaystyle v=-\frac{\cos(xy)}{x}.
Logo
\int_{0}^{\pi}y\sin(xy)\,dy =\Bigl[-\frac{y\cos(xy)}{x}\Bigr]_{0}^{\pi} +\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(xy)}{x}\,dy.

Passo 4

Avaliando os termos:
\Bigl[-\frac{y\cos(xy)}{x}\Bigr]_{0}^{\pi} =-\frac{\pi\cos(\pi x)}{x}
e
\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(xy)}{x}\,dy =\frac{1}{x}\Bigl[\frac{\sin(xy)}{x}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{\sin(\pi x)}{x^2}.
Portanto a integral interna é
\int_{0}^{\pi}y\sin(xy)\,dy =-\frac{\pi\cos(\pi x)}{x}+\frac{\sin(\pi x)}{x^2}.

Passo 5

Substituindo em x, a integral total fica
I =\int_{1}^{2}\Bigl(-\frac{\pi\cos(\pi x)}{x}+\frac{\sin(\pi x)}{x^2}\Bigr)dx.
Observamos que
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\sin(\pi x)}{x}\Bigr) =\frac{\pi x\cos(\pi x)-\sin(\pi x)}{x^2} =\frac{\pi\cos(\pi x)}{x}-\frac{\sin(\pi x)}{x^2},
logo o integrando é
-\frac{\pi\cos(\pi x)}{x}+\frac{\sin(\pi x)}{x^2} =-\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\sin(\pi x)}{x}\Bigr).

Passo 6

Assim
I =\int_{1}^{2}-\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\sin(\pi x)}{x}\Bigr)\,dx =-\Bigl[\frac{\sin(\pi x)}{x}\Bigr]_{1}^{2} =-\Bigl(\frac{\sin(2\pi)}{2}-\frac{\sin(\pi)}{1}\Bigr) =0.

Resposta

0

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