Uma lâmina tem a forma de um semidisco de raio a. A densidade de massa por unidade de superfície é proporcional a distância de cada ponto ao centro do disco. Determine o valor da constante de proporcionalidade K se a massa do semidisco for
u. m.
Passo 1
O enunciado descreve um semidisco de raio
cuja densidade de massa por unidade de área é dada por
onde
é a distância de cada ponto ao centro. A massa total do semidisco é
. O conteúdo é cálculo de massa por integração dupla em coordenadas polares.
Passo 2
Para achar a massa usamos a fórmula
Como o problema é radialmente simétrico, adotamos coordenadas polares com
e
, em que
.
Passo 3
Substituindo
e
na integral, temos
Calculando a integral em
:
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Passo 4
Igualando essa expressão à massa dada
, obtemos