Uma lâmina tem a forma de um semidisco de raio a. A densidade de massa por unidade de superfície é proporcional a distância de cada ponto ao centro do disco. Determine o valor da constante de proporcionalidade K se a massa do semidisco for \pi a^{3} u. m.

Passo 1

O enunciado descreve um semidisco de raio a cuja densidade de massa por unidade de área é dada por
\sigma(r)=K\,r,
onde r é a distância de cada ponto ao centro. A massa total do semidisco é \pi a^{3}. O conteúdo é cálculo de massa por integração dupla em coordenadas polares.

Passo 2

Para achar a massa usamos a fórmula
M=\iint_{\text{semidisco}}\sigma(r)\,dA.
Como o problema é radialmente simétrico, adotamos coordenadas polares com r\in[0,a] e \theta\in[0,\pi], em que dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Substituindo \sigma(r)=K\,r e dA=r\,dr\,d\theta na integral, temos
M=\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{a}K\,r\,(r\,dr\,d\theta) =K\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{a}r^{2}dr.
Calculando a integral em r:
\int_{0}^{a}r^{2}dr=\frac{a^{3}}{3},
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M=K\cdot\pi\cdot\frac{a^{3}}{3}=\frac{K\pi a^{3}}{3}.

Passo 4

Igualando essa expressão à massa dada \pi a^{3}, obtemos
\frac{K\pi a^{3}}{3}=\pi a^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{K}{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad K=3.

Resposta

K=3

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