Avalie a integral \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx
O conteúdo aqui é integração em duas variáveis e, devido à forma do domínio x^{2}+y^{2}\le1 no primeiro quadrante, vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

O domínio R é
R=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le\sqrt{1-x^{2}}\bigr\},
que em coordenadas polares (r,\theta) corresponde a
0\le r\le1,\quad 0\le \theta\le\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Na troca para coordenadas polares usamos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
e a função em polares fica
x^{2}+y^{2}=r^{2},
logo o integrando com o jacobiano é r^{2}\cdot r = r^{3}.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr =\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{4}.

Passo 5

Agora a integral em \theta e o produto final:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta =\frac{\pi}{2},
portanto o valor da integral dupla é
\frac{1}{4}\times\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}

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