Calcule as seguintes integrais duplas utilizando coordenadas polares \int_{0}^{4} \int_{0}^{\sqrt{4 y-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{4} \int_{0}^{\sqrt{4 y-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y.
Informações dadas e o que é pedido:
A função integranda é \,x^{2}+y^{2}\,.
As curvas limites são x=0 (limite inferior em x) e x=\sqrt{4y-y^{2}} (limite superior em x), com y variando de 0 a 4.
Pede-se o valor numérico da integral dupla sobre a região R descrita pelos limites acima.
Passo 2
Motivação para usar coordenadas polares e fórmulas básicas (aula rápida e intuitiva).
Em coordenadas polares usamos duas variáveis \,r e \theta tais que:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde \,r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
A área diferencial em coordenadas polares não é simplesmente dr\,d\theta: um pequeno retângulo em r,\theta tem área aproximadamente r\,dr\,d\theta. Por isso, ao trocar de variáveis a diferencial de área satisfaz
dA = dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicação rápida do fator r: ao variar o ângulo em d\theta a uma distância r o arco tem comprimento aproximadamente r\,d\theta; multiplicando por dr obtém-se a área do pequeno sector aproximado.
Passo 3
Determinar a equação da fronteira da região R e escrevê‑la em polares.
A equação x=\sqrt{4y-y^{2}} implica x^{2} = 4y - y^{2}.
Reescrevendo:
x^{2}+y^{2}-4y = 0.
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta obtemos:
r^{2}-4r\sin\theta = 0.
Factorizando r:
r\bigl(r-4\sin\theta\bigr)=0.
As soluções relevantes são r=0 (origem) ou
r = 4\sin\theta,
que é a curva limite em coordenadas polares.
Passo 4
Determinar os limites em \theta observando as restrições do enunciado.
A variável y varia entre 0 e 4. Em polares y=r\sin\theta. Como r\ge0, para que y\ge0 precisamos de \sin\theta\ge0, ou seja \theta\in[0,\pi].
O enunciado impõe x\ge0 (limite inferior x=0 e limite superior não negativo), e em polares x=r\cos\theta. Para x\ge0 com r\ge0 é necessário \cos\theta\ge0, ou seja \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
A interseção das duas condições \sin\theta\ge0 e \cos\theta\ge0 é
\theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
Portanto \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} e, para cada \theta nessa faixa, r vai de 0 até a curva r=4\sin\theta.
Passo 5
Trocar a integral para coordenadas polares e montar os limites.
Em polares \,x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Assim a integranda fica r^{2}\cdot r = r^{3}.
Os limites são 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2} e 0\le r\le 4\sin\theta.
Logo a integral passa a ser