Calcule as seguintes integrais duplas utilizando coordenadas polares
\int_{0}^{4} \int_{0}^{\sqrt{4 y-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{4} \int_{0}^{\sqrt{4 y-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função integranda é \,x^{2}+y^{2}\,.
  • As curvas limites são x=0 (limite inferior em x) e x=\sqrt{4y-y^{2}} (limite superior em x), com y variando de 0 a 4.
  • Pede-se o valor numérico da integral dupla sobre a região R descrita pelos limites acima.

Passo 2

Motivação para usar coordenadas polares e fórmulas básicas (aula rápida e intuitiva).
  • Em coordenadas polares usamos duas variáveis \,r e \theta tais que:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde \,r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • A área diferencial em coordenadas polares não é simplesmente dr\,d\theta: um pequeno retângulo em r,\theta tem área aproximadamente r\,dr\,d\theta. Por isso, ao trocar de variáveis a diferencial de área satisfaz
dA = dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicação rápida do fator r: ao variar o ângulo em d\theta a uma distância r o arco tem comprimento aproximadamente r\,d\theta; multiplicando por dr obtém-se a área do pequeno sector aproximado.

Passo 3

Determinar a equação da fronteira da região R e escrevê‑la em polares.
  • A equação x=\sqrt{4y-y^{2}} implica x^{2} = 4y - y^{2}.
  • Reescrevendo:
x^{2}+y^{2}-4y = 0.
  • Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta obtemos:
r^{2}-4r\sin\theta = 0.
  • Factorizando r:
r\bigl(r-4\sin\theta\bigr)=0.
As soluções relevantes são r=0 (origem) ou
r = 4\sin\theta,
que é a curva limite em coordenadas polares.

Passo 4

Determinar os limites em \theta observando as restrições do enunciado.
  • A variável y varia entre 0 e 4. Em polares y=r\sin\theta. Como r\ge0, para que y\ge0 precisamos de \sin\theta\ge0, ou seja \theta\in[0,\pi].
  • O enunciado impõe x\ge0 (limite inferior x=0 e limite superior não negativo), e em polares x=r\cos\theta. Para x\ge0 com r\ge0 é necessário \cos\theta\ge0, ou seja \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
  • A interseção das duas condições \sin\theta\ge0 e \cos\theta\ge0 é
\theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
Portanto \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} e, para cada \theta nessa faixa, r vai de 0 até a curva r=4\sin\theta.

Passo 5

Trocar a integral para coordenadas polares e montar os limites.
  • Em polares \,x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
  • Assim a integranda fica r^{2}\cdot r = r^{3}.
  • Os limites são 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2} e 0\le r\le 4\sin\theta.
    Logo a integral passa a ser
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \int_{0}^{4\sin\theta} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interna em r.
  • Calcule
\int_{0}^{4\sin\theta} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{4\sin\theta} = \frac{(4\sin\theta)^{4}}{4}.
  • Simplificando:
\frac{(4\sin\theta)^{4}}{4}=\frac{4^{4}\sin^{4}\theta}{4}=\frac{256\sin^{4}\theta}{4}=64\sin^{4}\theta.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 64\sin^{4}\theta\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral em \theta usando redução de potência.
  • Usamos a identidade de redução:
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2},
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\sin^{4}\theta = \left(\sin^{2}\theta\right)^{2} = \left(\frac{1-\cos 2\theta}{2}\right)^{2} = \frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos 2\theta+\frac{1}{8}\cos 4\theta.
  • Então
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 64\sin^{4}\theta\,d\theta = 64\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos 2\theta+\frac{1}{8}\cos 4\theta\right)d\theta.
  • Integrando termo a termo:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos 2\theta\,d\theta = \left.\frac{1}{2}\sin 2\theta\right|_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}=0,
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos 4\theta\,d\theta = \left.\frac{1}{4}\sin 4\theta\right|_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}=0.
  • Portanto só sobra o termo constante:
64\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\frac{3}{8}\,d\theta = 64\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2}.
  • Simplificando:
64\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2} = 8\cdot 3\cdot\frac{\pi}{2} = 24\cdot\frac{\pi}{2} = 12\pi.

Passo 8

Conclusão: o valor da integral dupla é \,12\pi\,. Bom trabalho — mesmo com pouco tempo dá pra chegar no resultado sistematicamente!

Resposta

\,12\pi\,

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