Calcule as seguintes integrais duplas utilizando coordenadas polares
\iint_{R} \frac{d x d y}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}}\,onde \(R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0, y \geq 0\right. e \left.x^{2}+y^{2} \leq a\right\})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{dx\,dy}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}},
onde a região R é dada por:
  • x\ge 0,
  • y\ge 0,
  • x^{2}+y^{2}\le a.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A região R é o quarto de disco centrado na origem com raio \sqrt{a}, limitado ao primeiro quadrante.
  • A função integranda é \dfrac{1}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}.
  • É necessário calcular a integral sobre toda a região R.
  • Vou assumir que a>0 (caso a=0 a integral vale 0, e o cálculo abaixo também funciona tomando limite).

Passo 2

Troca para coordenadas polares — explicando o porquê e a fórmula.
Quando a região é circular (ou parte dela) e a integranda depende de x^{2}+y^{2}, é muito conveniente usar coordenadas polares. Em coordenadas polares definimos:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao ponto (x,y) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Nessa mudança, o elemento de área dx\,dy se transforma em
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicação do fator r: pequenas variações dr e d\theta geram uma área aproximadamente igual a um retângulo de lados dr e r\,d\theta, daí a presença do fator r.
Além disso, x^{2}+y^{2}=r^{2}. Assim a integranda fica em termos de r apenas:
\frac{1}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}=\frac{1}{\left(1+r^{2}\right)^{3/2}}.

Passo 3

Determinar os limites de integração em polares.
A região R é o primeiro quadrante dentro do disco de raio \sqrt{a}. Em polares isso corresponde a:
0\le \theta \le \frac{\pi}{2}, \qquad 0\le r \le \sqrt{a}.
Então a integral dupla em polares será uma integral iterada com esses limites.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares com o jacobiano.
Substituindo tudo obtemos
\iint_{R} \frac{dx\,dy}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}} = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\sqrt{a}} \frac{r}{\left(1+r^{2}\right)^{3/2}}\,dr\,d\theta.
Aqui a parte importante é que o integrando em r é \dfrac{r}{(1+r^{2})^{3/2}} — o r vem do jacobiano dx\,dy=r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a primitiva em r usando substituição — passo a passo.
Vamos calcular a integral interior
\int_{0}^{\sqrt{a}} \frac{r}{\left(1+r^{2}\right)^{3/2}}\,dr.
Fazer a substituição u=1+r^{2}. Então
du = 2r\,dr \quad\Longrightarrow\quad r\,dr=\frac{du}{2}.
Quando r=0 temos u=1. Quando r=\sqrt{a} temos u=1+a. Substituindo:
\int_{0}^{\sqrt{a}} \frac{r}{\left(1+r^{2}\right)^{3/2}}\,dr = \int_{u=1}^{u=1+a} \frac{1}{u^{3/2}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{1+a} u^{-3/2}\,du.
Agora calculamos a integral de u^{-3/2}. Uma primitiva é
\int u^{-3/2}\,du = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} = -2\,u^{-1/2}.
Multiplicando pelo 1/2 que estava fora, obtemos primitiva total igual a -u^{-1/2}. Avaliando entre 1 e 1+a:
\frac{1}{2}\int_{1}^{1+a} u^{-3/2}\,du = \Big[-u^{-1/2}\Big]_{1}^{1+a} = -\frac{1}{\sqrt{1+a}} -\big(-\frac{1}{\sqrt{1}}\big) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1+a}}.

Passo 6

Integrar em \theta e obter o resultado final.
A integral total é então
\int_{0}^{\pi/2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{1+a}}\right)\,d\theta.
A expressão entre parênteses é constante em \theta, logo
\int_{0}^{\pi/2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{1+a}}\right)\,d\theta = \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1+a}}\right)\cdot\int_{0}^{\pi/2} d\theta = \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1+a}}\right)\cdot\frac{\pi}{2}.
Portanto a integral vale
\frac{\pi}{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{1+a}}\right).

Passo 7

Comentário final e caso particular.
  • Se a=0 então \sqrt{1+a}=1 e o resultado fica \dfrac{\pi}{2}(1-1)=0, que faz sentido porque a região degenera em um ponto.
  • Para a>0 o resultado é positivo e cresce com a, aproximando-se de \dfrac{\pi}{2} quando a\to\infty (pois \frac{1}{\sqrt{1+a}}\to 0).

Resposta

\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{1+a}}\right)

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