Calcule as seguintes integrais duplas utilizando coordenadas polares
e
)
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é dada por:
-
, -
, -
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A região
é o quarto de disco centrado na origem com raio , limitado ao primeiro quadrante. - A função integranda é
. - É necessário calcular a integral sobre toda a região
. - Vou assumir que
(caso a integral vale , e o cálculo abaixo também funciona tomando limite).
Passo 2
Troca para coordenadas polares — explicando o porquê e a fórmula.
Quando a região é circular (ou parte dela) e a integranda depende de
, é muito conveniente usar coordenadas polares. Em coordenadas polares definimos:
onde
é a distância ao ponto
e
é o ângulo medido a partir do eixo
. Nessa mudança, o elemento de área
se transforma em
Explicação do fator
: pequenas variações
e
geram uma área aproximadamente igual a um retângulo de lados
e
, daí a presença do fator
.
Além disso,
. Assim a integranda fica em termos de
apenas:
Passo 3
Determinar os limites de integração em polares.
A região
é o primeiro quadrante dentro do disco de raio
. Em polares isso corresponde a:
Então a integral dupla em polares será uma integral iterada com esses limites.
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares com o jacobiano.
Substituindo tudo obtemos
Aqui a parte importante é que o integrando em
é
— o
vem do jacobiano
.
Passo 5
Calcular a primitiva em
usando substituição — passo a passo.
Vamos calcular a integral interior
Fazer a substituição
. Então
Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo:
Agora calculamos a integral de
. Uma primitiva é
Multiplicando pelo
que estava fora, obtemos primitiva total igual a
. Avaliando entre
e
:
Passo 6
Integrar em
e obter o resultado final.
A integral total é então
A expressão entre parênteses é constante em
, logo
Portanto a integral vale
Passo 7
Comentário final e caso particular.
- Se
então e o resultado fica , que faz sentido porque a região degenera em um ponto. - Para
o resultado é positivo e cresce com , aproximando-se de quando (pois ).