Calcule por coordenadas polares a integral dupla
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}} d A
onde R é a região limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA,
onde R é a região limitada pelas circunferências \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=9.
Informações relevantes fornecidas:
  • A região R é o anel (coroa circular) entre os círculos de raio 1 e 3.
  • A função integranda depende apenas de x^{2}+y^{2}, ou seja, é radial: e^{x^{2}+y^{2}} = e^{r^{2}} após trocar para coordenadas polares.
  • O enunciado pede o valor numérico exato da integral sobre essa região.

Passo 2

Entendendo coordenadas polares e o elemento de área:
  • Em coordenadas polares usamos as transformações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • A relação entre x^{2}+y^{2} e r é simplesmente
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • Importante: o elemento de área dA em coordenadas polares não é dr\,d\theta puro, é necessário o fator Jacobiano r. Ou seja,
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação intuitiva do Jacobiano: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então sua área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Definir os limites de integração para a região R:
  • Como R é o anel entre os círculos de raios 1 e 3, o raio r varia de 1 até 3:
1\le r\le 3.
  • A região completa circunda a origem inteiramente, então o ângulo \theta descreve uma volta completa:
0\le \theta \le 2\pi.
Substituindo integranda e dA em coordenadas polares, a integral vira
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{3} e^{r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.
Aqui eu usei que peguei da definição da região os limites de r (de 1 a 3) e de \theta (de 0 a 2\pi), e que da substituição polar veio x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral interna em r usando substituição:
Considere a integral interna
\int_{1}^{3} e^{r^{2}}\; r\,dr.
Fazendo a substituição \,u=r^{2}, temos \,du=2r\,dr ou \,r\,dr=\dfrac{du}{2}. Os limites em u são:
  • quando r=1, u=1^{2}=1;
  • quando r=3, u=3^{2}=9.
    Portanto
\int_{1}^{3} e^{r^{2}}\; r\,dr = \int_{u=1}^{9} e^{u}\;\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{9} e^{u}\,du.
Integrando e^{u} obtemos
\frac{1}{2}\left[e^{u}\right]_{1}^{9} = \frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e^{1}\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e\bigr).

Passo 5

Finalizar a integral completa multiplicando pela integral em \theta:
Agora a integral dupla vale
\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e\bigr)\right)\,d\theta = \frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e\bigr)\int_{0}^{2\pi} d\theta.
Como \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi, obtemos
\frac{1}{2}\bigl(e^{9}-e\bigr)\cdot 2\pi = \pi\bigl(e^{9}-e\bigr).
Esse é o valor exato da integral.

Resposta

\pi\bigl(e^{9}-e\bigr)

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