Calcule por coordenadas polares a integral dupla
onde
é a região limitada pelas circunferências
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas circunferências
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A região
é o anel (coroa circular) entre os círculos de raio e . - A função integranda depende apenas de
, ou seja, é radial: após trocar para coordenadas polares. - O enunciado pede o valor numérico exato da integral sobre essa região.
Passo 2
Entendendo coordenadas polares e o elemento de área:
- Em coordenadas polares usamos as transformações
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
.
- A relação entre
e é simplesmente
- Importante: o elemento de área
em coordenadas polares não é puro, é necessário o fator Jacobiano . Ou seja,
Explicação intuitiva do Jacobiano: um pequeno retângulo em
tem lados aproximadamente
e
, então sua área é
.
Passo 3
Definir os limites de integração para a região
:
- Como
é o anel entre os círculos de raios e , o raio varia de até :
- A região completa circunda a origem inteiramente, então o ângulo
descreve uma volta completa:
Substituindo integranda e
em coordenadas polares, a integral vira
Aqui eu usei que peguei da definição da região os limites de
(de
a
) e de
(de
a
), e que da substituição polar veio
e
.
Passo 4
Calcular a integral interna em
usando substituição:
Considere a integral interna
Considere a integral interna
Fazendo a substituição
, temos
ou
. Os limites em
são:
- quando
, ; - quando
, .
Portanto
Integrando
obtemos
Passo 5
Finalizar a integral completa multiplicando pela integral em
:
Agora a integral dupla vale
Agora a integral dupla vale
Como
, obtemos
Esse é o valor exato da integral.