Calcule as seguintes integrais duplas utilizando integrais repetidas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
Informações fornecidas:
- A função integranda é
. - O domínio de integração é o retângulo com
variando de a e variando de a .
A tarefa é avaliar essa integral dupla usando integrais repetidas.
Passo 2
Motivação e regra que vamos usar (explicação didática).
Para funções contínuas em um retângulo, a integral dupla pode ser calculada por integrais iteradas (teorema de Fubini). Isso significa que podemos integrar primeiro em e depois em
, ou vice-versa. Em símbolos:
Para funções contínuas em um retângulo, a integral dupla pode ser calculada por integrais iteradas (teorema de Fubini). Isso significa que podemos integrar primeiro em
Aqui
é contínua em todo
, portanto podemos aplicar essa regra sem medo.
Passo 3
Escolhendo uma ordem e calculando a integral interna (primeira maneira: integrar em
primeiro).
Observe que
Observe que
Para
fixo,
é constante em relação a
. Então
Agora usamos a primitiva da função exponencial: para qualquer variável
,
logo uma primitiva de
é
. Assim
Portanto a integral interna vale
Passo 4
Agora integramos em
(a integral externa).
Temos então
Temos então
Usando novamente a primitiva de
,
Logo
Passo 5
Verificação rápida integrando na ordem contrária (mostra que dá o mesmo e reforça o método).
Integrando primeiro em :
Integrando primeiro em
Depois integrar em
:
mesmo resultado, como esperado.