Calcule as seguintes integrais duplas utilizando integrais repetidas.
\iint_{R} e^{x+y} d A, \quad R=[0,1] \times[0,2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} e^{x+y}\,dA,
onde a região R é o retângulo
R = [0,1]\times[0,2].
Informações fornecidas:
  • A função integranda é e^{x+y}.
  • O domínio de integração é o retângulo com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 2.
    A tarefa é avaliar essa integral dupla usando integrais repetidas.

Passo 2

Motivação e regra que vamos usar (explicação didática).
Para funções contínuas em um retângulo, a integral dupla pode ser calculada por integrais iteradas (teorema de Fubini). Isso significa que podemos integrar primeiro em y e depois em x, ou vice-versa. Em símbolos:
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{2} f(x,y)\,dy\right)dx = \int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=0}^{1} f(x,y)\,dx\right)dy.
Aqui f(x,y)=e^{x+y} é contínua em todo \mathbb{R}^2, portanto podemos aplicar essa regra sem medo.

Passo 3

Escolhendo uma ordem e calculando a integral interna (primeira maneira: integrar em y primeiro).
Observe que
e^{x+y}=e^{x}\,e^{y}.
Para x fixo, e^{x} é constante em relação a y. Então
\int_{y=0}^{2} e^{x+y}\,dy = \int_{y=0}^{2} e^{x}\,e^{y}\,dy = e^{x}\int_{y=0}^{2} e^{y}\,dy.
Agora usamos a primitiva da função exponencial: para qualquer variável t,
\frac{d}{dt} e^{t} = e^{t},
logo uma primitiva de e^{t} é e^{t}. Assim
\int_{y=0}^{2} e^{y}\,dy = \bigl[e^{y}\bigr]_{0}^{2} = e^{2}-e^{0} = e^{2}-1.
Portanto a integral interna vale
\int_{y=0}^{2} e^{x+y}\,dy = e^{x}\,(e^{2}-1).

Passo 4

Agora integramos em x (a integral externa).
Temos então
\iint_{R} e^{x+y}\,dA = \int_{x=0}^{1} \bigl(e^{x}(e^{2}-1)\bigr)\,dx = (e^{2}-1)\int_{x=0}^{1} e^{x}\,dx.
Usando novamente a primitiva de e^{x},
\int_{x=0}^{1} e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1} = e^{1}-e^{0} = e-1.
Logo
\iint_{R} e^{x+y}\,dA = (e^{2}-1)(e-1).

Passo 5

Verificação rápida integrando na ordem contrária (mostra que dá o mesmo e reforça o método).
Integrando primeiro em x:
\int_{x=0}^{1} e^{x+y}\,dx = \int_{x=0}^{1} e^{y}\,e^{x}\,dx = e^{y}\int_{x=0}^{1} e^{x}\,dx = e^{y}(e-1).
Depois integrar em y:
\int_{y=0}^{2} e^{y}(e-1)\,dy = (e-1)\int_{y=0}^{2} e^{y}\,dy = (e-1)(e^{2}-1),
mesmo resultado, como esperado.

Resposta

e^{3}-e^{2}-e+1

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