Calcule as seguintes integrais duplas utilizando integrais repetidas.
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, \quad R=[-1,1] \times[0,2] .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA,
onde R=[-1,1]\times[0,2].
Informações dadas:
  • A região R é o retângulo com x variando de -1 a 1 e y variando de 0 a 2.
  • A função a ser integrada é f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • O enunciado exige que se use integrais repetidas (ou seja, transformar a integral dupla em uma integral iterada).

Passo 2

O que é fazer por integrais repetidas (iteração)?
  • Para uma região retangular R=[a,b]\times[c,d] e uma função contínua f(x,y), a integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada:
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx
ou trocando a ordem das integrais.
  • Aqui a=-1, b=1, c=0, d=2. Vou usar a ordem dy depois dx, ou seja:
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = \int_{x=-1}^{1}\left(\int_{y=0}^{2} \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\right)dx.
Ao integrar em y tratamos x como constante (porque a integração é em y).

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
  • Antiderivada de x^{2} em relação a y: como x^{2} é constante em y, a antiderivada é x^{2}y.
  • Antiderivada de y^{2} em relação a y: \dfrac{y^{3}}{3}.
    Portanto,
\int_{y=0}^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy = \left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2}.
Avaliaremos nos limites:
\left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = x^{2}\cdot 2 + \frac{2^{3}}{3} - \bigl(0+0\bigr) = 2x^{2} + \frac{8}{3}.

Passo 4

Agora a integral dupla virou uma integral simples em x:
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = \int_{-1}^{1}\left(2x^{2}+\frac{8}{3}\right)\,dx.
Separe em duas integrais mais simples:
\int_{-1}^{1}2x^{2}\,dx + \int_{-1}^{1}\frac{8}{3}\,dx.

Passo 5

Calcule cada termo:
  • Para \int_{-1}^{1}2x^{2}\,dx:
\int_{-1}^{1}2x^{2}\,dx = 2\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx.
A antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, logo
\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.
Portanto
2\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
  • Para \int_{-1}^{1}\dfrac{8}{3}\,dx: é uma constante em x, então
\int_{-1}^{1}\frac{8}{3}\,dx = \frac{8}{3}\cdot (1-(-1)) = \frac{8}{3}\cdot 2 = \frac{16}{3}.

Passo 6

Some os dois resultados:
\frac{4}{3} + \frac{16}{3} = \frac{20}{3}.

Resposta

\dfrac{20}{3}

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