Calcule as seguintes integrais duplas utilizando integrais repetidas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
.
Informações dadas:
- A região
é o retângulo com variando de a e variando de a . - A função a ser integrada é
. - O enunciado exige que se use integrais repetidas (ou seja, transformar a integral dupla em uma integral iterada).
Passo 2
O que é fazer por integrais repetidas (iteração)?
- Para uma região retangular
e uma função contínua , a integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada:
ou trocando a ordem das integrais.
- Aqui
, , , . Vou usar a ordem depois , ou seja:
Ao integrar em
tratamos
como constante (porque a integração é em
).
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
- Antiderivada de
em relação a : como é constante em , a antiderivada é . - Antiderivada de
em relação a : .
Portanto,
Avaliaremos nos limites:
Passo 4
Agora a integral dupla virou uma integral simples em
:
Separe em duas integrais mais simples:
Passo 5
Calcule cada termo:
- Para
:
A antiderivada de
é
, logo
Portanto
- Para
: é uma constante em , então
Passo 6
Some os dois resultados: