Calcule as seguintes integrais duplas utilizando integrais repetidas.
\iint_{R} x^{2} y d A, \quad R=[0,1] \times[0,4] .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{2}y\,dA,
onde a região é o retângulo
R=[0,1]\times[0,4].
Informações dadas:
  • A função a integrar é \,f(x,y)=x^{2}y\,.
  • O domínio R é o produto do intervalo [0,1] em x pelo intervalo [0,4] em y.
    O que se pede: avaliar \iint_{R} x^{2}y\,dA usando integrais repetidas (iteradas).

Passo 2

Entendendo a integral dupla e a regra que vamos usar.
  • O elemento de área dA corresponde a dx\,dy ou dy\,dx quando passamos para integrais repetidas.
  • Como R é um retângulo e f é contínua (polinômio), vale o Teorema de Fubini: podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada em qualquer ordem:
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{4} f(x,y)\,dy\,dx = \int_{y=0}^{4}\!\int_{x=0}^{1} f(x,y)\,dx\,dy.
Aqui f(x,y)=x^{2}y. As variáveis x e y são tratadas como constantes quando integramos em relação à outra variável.

Passo 3

Observação útil: a função é separável, isto é,
x^{2}y = \big(x^{2}\big)\big(y\big).
Para um retângulo, quando a integranda é produto de função só de x por função só de y, a integral dupla fatoriza:
\iint_{R} x^{2}y\,dA = \left(\int_{0}^{1} x^{2}\,dx\right)\left(\int_{0}^{4} y\,dy\right).
Vou calcular explicitamente essas duas integrais de uma variável (ou, se preferir, pode-se fazer a integral iterada diretamente; o resultado é o mesmo).

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
  • Regra: a primitiva de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • Aplicando com n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
  • Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{0}^{4} y\,dy.
  • Aqui y é como y^{1}, então a primitiva é \dfrac{y^{2}}{2}.
  • Avaliando de 0 a 4:
\int_{0}^{4} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{4} = \frac{4^{2}}{2}-0 = \frac{16}{2}=8.

Passo 6

Combinar os resultados obtidos:
  • De \#Passo 4 temos \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \frac{1}{3}.
  • De \#Passo 5 temos \displaystyle \int_{0}^{4} y\,dy = 8.
    Portanto,
\iint_{R} x^{2}y\,dA = \frac{1}{3}\cdot 8 = \frac{8}{3}.

Resposta

\dfrac{8}{3}

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