Calcule as seguintes integrais duplas utilizando integrais repetidas.
\iint_{R} x^{2} y d A, \quad R=[0,1] \times[0,4] .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{2}y\,dA,
onde a região é o retângulo
R=[0,1]\times[0,4].
Informações dadas:
A função a integrar é \,f(x,y)=x^{2}y\,.
O domínio R é o produto do intervalo [0,1] em x pelo intervalo [0,4] em y.
O que se pede: avaliar \iint_{R} x^{2}y\,dA usando integrais repetidas (iteradas).
Passo 2
Entendendo a integral dupla e a regra que vamos usar.
O elemento de área dA corresponde a dx\,dy ou dy\,dx quando passamos para integrais repetidas.
Como R é um retângulo e f é contínua (polinômio), vale o Teorema de Fubini: podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada em qualquer ordem:
Vou calcular explicitamente essas duas integrais de uma variável (ou, se preferir, pode-se fazer a integral iterada diretamente; o resultado é o mesmo).
Passo 4
Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Regra: a primitiva de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.