Calcule as seguintes integrais (este exercício mescla todas as técnicas vistas):
\int_{0}^{2} \frac{2 x+1}{\sqrt{2 x^{2}+2 x+3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \frac{2x+1}{\sqrt{2x^{2}+2x+3}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que o numerador é proporcional à derivada da expressão dentro da raiz e usar substituição simples.

Passo 2

Seja
u = 2x^{2}+2x+3.
Então
du = (4x+2)\,dx = 2(2x+1)\,dx \quad\Longrightarrow\quad (2x+1)\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral temos
\int \frac{2x+1}{\sqrt{2x^{2}+2x+3}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-\tfrac12}\,du.
Integral indefinida:
\frac{1}{2}\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{2}\cdot 2\,u^{\tfrac12} = \sqrt{u} + C.

Passo 4

Volta ao x e avalia de 0 a 2:
\left[\sqrt{2x^{2}+2x+3}\,\right]_{0}^{2} = \sqrt{2\cdot 2^{2}+2\cdot 2+3}\;-\;\sqrt{2\cdot 0^{2}+2\cdot 0+3} = \sqrt{15}-\sqrt{3}.

Resposta

\sqrt{15}-\sqrt{3}

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