Para resolver a equação diferencial
, um aluno neófito pensou assim: “Determinarei o valor de
e, ao final, acrescentarei a constante
, uma vez que a integral obtida é indefinida”. Com essa ideia, o cálculo desse aluno foi o seguinte:
Portanto, continuou o aluno, a função que responde a questão é
onde
. Pergunta-se: A solução apresentada pelo estudante está correta? Justifique.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e o aluno tentou usar separação de variáveis. O conteúdo aqui é solução de EDO separável e a necessidade de tratar corretamente a constante de integração. Vamos separar as variáveis, integrar incluindo o
e depois discutir por que não se pode escrever
.
Passo 2
Separe as variáveis escrevendo
Agora integramos ambos os lados.
Passo 3
Ao integrar,
obtém-se
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Despejando
em função de
, temos
Essa é a forma geral da solução.
Passo 5
Se alguém escrever
, note que ao diferenciar surge
então
Logo, colocar
fora do argumento da tangente não satisfaz a EDO.
Resposta
A solução apresentada pelo estudante está incorreta. A forma geral correta é
e não
.