Para resolver a equação diferencial \frac{d y}{d x}-y^{2}=1, um aluno neófito pensou assim: “Determinarei o valor de y e, ao final, acrescentarei a constante C \in \mathbb{R}, uma vez que a integral obtida é indefinida”. Com essa ideia, o cálculo desse aluno foi o seguinte:
\frac{d y}{d x}-y^{2}=1 \Rightarrow \frac{1}{1+y^{2}} d y=1 d x \Rightarrow \int \frac{1}{1+y^{2}} d y=\int 1 d x \Rightarrow \operatorname{arctg} y=x \Rightarrow y=\operatorname{tg} x
Portanto, continuou o aluno, a função que responde a questão é
y=\operatorname{tg} x+C
onde C \in \mathbb{R}. Pergunta-se: A solução apresentada pelo estudante está correta? Justifique.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\frac{d y}{d x} - y^{2} = 1
e o aluno tentou usar separação de variáveis. O conteúdo aqui é solução de EDO separável e a necessidade de tratar corretamente a constante de integração. Vamos separar as variáveis, integrar incluindo o C e depois discutir por que não se pode escrever y=\tan x + C.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
\frac{d y}{d x} = 1 + y^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1+y^{2}}\,d y = d x.
Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Ao integrar,
\int \frac{1}{1+y^{2}}\,d y = \int 1\,d x
obtém-se
\arctan(y) = x + C,
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração.

Passo 4

Despejando y em função de x, temos
y = \tan\bigl(x + C\bigr).
Essa é a forma geral da solução.

Passo 5

Se alguém escrever y=\tan x + C, note que ao diferenciar surge
\frac{d y}{d x} = \operatorname{sec}^{2}x, \quad y^{2} = \bigl(\tan x + C\bigr)^{2},
então
\frac{d y}{d x} - y^{2} = \operatorname{sec}^{2}x - \bigl(\tan x + C\bigr)^{2} \neq 1 \quad\text{(salvo casos especiais de \(C\)).}
Logo, colocar C fora do argumento da tangente não satisfaz a EDO.

Resposta

A solução apresentada pelo estudante está incorreta. A forma geral correta é
y = \tan\bigl(x + C\bigr),
e não y = \tan x + C.

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