Calcule as seguintes integrais:
f) \int 3^{\sqrt{2 x+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo (a variável de integração é x):
\int 3^{\sqrt{2 x+1}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é 3^{\sqrt{2 x+1}}.
  • É uma integral indefinida, portanto o resultado deve conter uma constante de integração C.
  • Não há limites de integração.

Passo 2

Observação sobre a estrutura do integrando e escolha de mudança de variável:
  • O expoente é \sqrt{2 x+1}, ou seja, uma composição: a base constante 3 elevada a uma função de x com raiz quadrada.
  • Uma mudança de variável que torne o expoente uma variável simples costuma facilitar muito. Então fazemos a substituição
t=\sqrt{2x+1}.
Agora vamos relacionar dt e dx. Diferenciando t em relação a x:
\frac{dt}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl((2x+1)^{1/2}\bigr)=(1/2)\cdot(2)\cdot(2x+1)^{-1/2}=(2x+1)^{-1/2}.
Como (2x+1)^{-1/2}=1/\sqrt{2x+1} e \sqrt{2x+1}=t, temos
\frac{dt}{dx}=\frac{1}{t}\quad\Rightarrow\quad dt=\frac{dx}{t}\quad\Rightarrow\quad dx=t\,dt.
Portanto a diferencial dx expressa em função de t é dx=t\,dt.

Passo 3

Aplicando a substituição à integral:
  • O integrando 3^{\sqrt{2x+1}} fica 3^{t}.
  • E dx fica t\,dt.
Logo a integral em x transforma-se em uma integral em t:
\int 3^{\sqrt{2 x+1}}\,dx=\int 3^{t}\cdot t\,dt=\int t\,3^{t}\,dt.

Passo 4

Lembrete útil (fórmula que usaremos mais adiante):
  • Para qualquer base positiva a\neq1, vale
\int a^{t}\,dt=\frac{a^{t}}{\ln a}+C,
porque a^{t}=e^{t\ln a} e a integral de e^{t\ln a} é \frac{e^{t\ln a}}{\ln a}=\frac{a^{t}}{\ln a}.
Aqui, a=3, então \int 3^{t}\,dt=\dfrac{3^{t}}{\ln 3}+C.

Passo 5

Para calcular \int t\,3^{t}\,dt usamos a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de t e dv é a diferencial associada.
Escolhemos:
u=t\quad\Rightarrow\quad du=dt,
dv=3^{t}\,dt\quad\Rightarrow\quad v=\frac{3^{t}}{\ln 3},
porque, como lembrado, \int 3^{t}\,dt=\dfrac{3^{t}}{\ln 3}.
Aplicando a fórmula:
\int t\,3^{t}\,dt = u v - \int v\,du = t\cdot\frac{3^{t}}{\ln 3} - \int \frac{3^{t}}{\ln 3}\,dt.

Passo 6

Continuando a calcular a integral remanescente:
\int \frac{3^{t}}{\ln 3}\,dt = \frac{1}{\ln 3}\int 3^{t}\,dt = \frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{3^{t}}{\ln 3} = \frac{3^{t}}{(\ln 3)^{2}}.
Substituindo de volta em \int t\,3^{t}\,dt:
\int t\,3^{t}\,dt = \frac{t\,3^{t}}{\ln 3} - \frac{3^{t}}{(\ln 3)^{2}} + C.
Fatorando 3^{t} opcionalmente:
\int t\,3^{t}\,dt = 3^{t}\left(\frac{t}{\ln 3} - \frac{1}{(\ln 3)^{2}}\right) + C.

Passo 7

Voltar à variável original x usando t=\sqrt{2x+1}. Assim a integral original vale
\int 3^{\sqrt{2 x+1}}\,dx = 3^{\sqrt{2x+1}}\left(\frac{\sqrt{2x+1}}{\ln 3} - \frac{1}{(\ln 3)^{2}}\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

3^{\sqrt{2x+1}}\left(\dfrac{\sqrt{2x+1}}{\ln 3}-\dfrac{1}{(\ln 3)^{2}}\right)+C

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