Calcule as seguintes integrais:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo (a variável de integração é
):
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - É uma integral indefinida, portanto o resultado deve conter uma constante de integração
. - Não há limites de integração.
Passo 2
Observação sobre a estrutura do integrando e escolha de mudança de variável:
- O expoente é
, ou seja, uma composição: a base constante elevada a uma função de com raiz quadrada. - Uma mudança de variável que torne o expoente uma variável simples costuma facilitar muito. Então fazemos a substituição
Agora vamos relacionar
e
. Diferenciando
em relação a
:
Como
e
, temos
Portanto a diferencial
expressa em função de
é
.
Passo 3
Aplicando a substituição à integral:
- O integrando
fica . - E
fica .
Logo a integral em
transforma-se em uma integral em
:
Passo 4
Lembrete útil (fórmula que usaremos mais adiante):
- Para qualquer base positiva
, vale
porque
e a integral de
é
.
Aqui, , então
.
Aqui,
Passo 5
Para calcular
usamos a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções de
e
é a diferencial associada.
Escolhemos:
porque, como lembrado,
.
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Continuando a calcular a integral remanescente:
Substituindo de volta em
:
Fatorando
opcionalmente:
Passo 7
Voltar à variável original
usando
. Assim a integral original vale
onde
é a constante de integração.