Use o método de Newton para encontrar solução para os seguintes problemas
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede aplicar o método de Newton para encontrar a solução da equação
no intervalo
.
- Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
- O intervalo de busca é
. - Avaliando a função nas extremidades temos
- O intervalo de busca é
Como \(f(-3)=-1\) e \(f(-2)=3\) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em \([-3,-2]\) (Teorema do valor intermediário).
- O enunciado pede a(s) raiz(es) encontrada(s) nesse intervalo; não foi dada tolerância, então vou iterar até uma convergência razoável (mudança entre iterações menor que
).
Passo 2
Apresentando o método de Newton (a ideia e a fórmula):
-
Ideia geométrica: a cada aproximação
substitui-se a curva por sua reta tangente em e toma-se a interseção dessa tangente com o eixo como nova aproximação . -
A fórmula do método de Newton para resolver
é
Aqui
é a derivada de
; essa fórmula vem da equação da reta tangente:
e zero dessa reta (colocar
) dá a expressão acima.
- Para a nossa função definimos
Nota: é importante que
em cada iteração; no nosso problema
, então devemos evitar começar exatamente em
ou ficar muito perto dele.
Passo 3
Escolha do ponto inicial
e justificativa:
- O intervalo dado é
. Uma escolha natural é o ponto médio . É longe do ponto problemático (onde ), e está dentro do intervalo onde sabemos que existe uma raiz. - Vou usar
e aplicar Newton até .
Passo 4
Primeira iteração (mostrar contas “mastigadas”):
- Calcular
e com :
- Aplicando Newton:
- Observação: deu overshoot (ficamos um pouco abaixo de
); isso pode acontecer em Newton. Continuamos.
Passo 5
Segunda iteração (usar frações quando possível para precisão):
- Para
calcule e :
Cálculo exato (frações):
Colocando tudo sobre o denominador
:
- Aplicando Newton (mostrando a fração resultante):
Passo 6
Terceira iteração (usar decimais com precisão suficiente e mostrar os passos):
-
Com
vamos calcular e de forma numérica (mostrando procedimento): - Calcular
(multiplicando por si). - Calcular
(multiplicando por ). - Então
- E
- Calcular
-
Aplicando Newton:
- Verificando: já nos aproximamos do intervalo de interesse e a mudança da iteração diminuiu bastante (da ordem
para esta etapa).
Passo 7
Quarta iteração (chegando na precisão desejada):
- Com
repetimos: - Calcular numericamente
e . Fazendo as multiplicações com cuidado (mostrando apenas o resultado relevante):
- Calcular numericamente
(Esses valores vêm de calcular \(x_{3}^{2},x_{3}^{3}\) e montar \(f\) e \(f'\).)
- A correção é
portanto
-
A diferença
na verdade já estava pequena e agora se usarmos as estimativas mais exatas do cálculo (o método converge quadraticamente; uma ou duas iterações a mais geralmente levam à precisão de máquina). -
Observação didática: neste problema a convergência foi rápida depois das primeiras iterações (apesar do overshoot inicial). Em geral Newton convergirá rápido quando o palpite inicial estiver razoavelmente próximo e quando
não for nulo na vizinhança da raiz.
Passo 8
Comentário matemático elegante (opcional, para checar resultado com um “truque”):
- É interessante notar que, se fizer a substituição
, a equação fica
- Colocando
usa-se a identidade e obtém-se raízes explícitas em termos de cossenos. A raiz em nosso intervalo corresponde a
confirmando o resultado numérico obtido por Newton.