Use o método de Newton para encontrar solução para os seguintes problemas
x^{3}+3 x^{2}-1=0,[-3,-2].

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede aplicar o método de Newton para encontrar a solução da equação
x^{3}+3x^{2}-1=0
no intervalo [-3,-2].
  • Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
    • O intervalo de busca é [-3,-2].
    • Avaliando a função nas extremidades temos f(-3)=(-3)^{3}+3(-3)^{2}-1=-27+27-1=-1,
f(-2)=(-2)^{3}+3(-2)^{2}-1=-8+12-1=3.
Como \(f(-3)=-1\) e \(f(-2)=3\) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em \([-3,-2]\) (Teorema do valor intermediário).
  • O enunciado pede a(s) raiz(es) encontrada(s) nesse intervalo; não foi dada tolerância, então vou iterar até uma convergência razoável (mudança entre iterações menor que 10^{-6}).

Passo 2

Apresentando o método de Newton (a ideia e a fórmula):
  • Ideia geométrica: a cada aproximação x_n substitui-se a curva por sua reta tangente em x_n e toma-se a interseção dessa tangente com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}.
  • A fórmula do método de Newton para resolver f(x)=0 é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f'(x) é a derivada de f; essa fórmula vem da equação da reta tangente:
y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n),
e zero dessa reta (colocar y=0) dá a expressão acima.
  • Para a nossa função definimos
f(x)=x^{3}+3x^{2}-1, \qquad f'(x)=3x^{2}+6x.
Nota: é importante que f'(x_n)\neq 0 em cada iteração; no nosso problema f'(-2)=0, então devemos evitar começar exatamente em -2 ou ficar muito perto dele.

Passo 3

Escolha do ponto inicial x_0 e justificativa:
  • O intervalo dado é [-3,-2]. Uma escolha natural é o ponto médio x_0=-2{,}5. É longe do ponto problemático -2 (onde f'=0), e está dentro do intervalo onde sabemos que existe uma raiz.
  • Vou usar x_0=-2{,}5 e aplicar Newton até |x_{n+1}-x_n|<10^{-6}.

Passo 4

Primeira iteração (mostrar contas “mastigadas”):
  • Calcular f(x_0) e f'(x_0) com x_0=-2{,}5:
f(-2{,}5)=(-2{,}5)^{3}+3(-2{,}5)^{2}-1=-15{,}625+18{,}75-1=2{,}125.
f'(-2{,}5)=3(-2{,}5)^{2}+6(-2{,}5)=18{,}75-15=3{,}75.
  • Aplicando Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=-2{,}5-\frac{2{,}125}{3{,}75}=-2{,}5-\frac{17}{30}=-\frac{46}{15}\approx-3{,}0666666667.
  • Observação: deu overshoot (ficamos um pouco abaixo de -3); isso pode acontecer em Newton. Continuamos.

Passo 5

Segunda iteração (usar frações quando possível para precisão):
  • Para x_{1}=-\dfrac{46}{15} calcule f(x_1) e f'(x_1):
Cálculo exato (frações):
f\!\left(-\frac{46}{15}\right)=\left(-\frac{46}{15}\right)^{3}+3\left(-\frac{46}{15}\right)^{2}-1 =-\frac{97336}{3375}+\frac{6348}{225}-1.
Colocando tudo sobre o denominador 3375:
f\!\left(-\frac{46}{15}\right)=\frac{-97336+95220-3375}{3375}=-\frac{5491}{3375}\approx-1{,}6274074074.
f'\!\left(-\frac{46}{15}\right)=3\left(-\frac{46}{15}\right)^{2}+6\left(-\frac{46}{15}\right) =\frac{6348}{225}-\frac{276}{15}=\frac{2208}{225}\approx9{,}8133333333.
  • Aplicando Newton (mostrando a fração resultante):
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})} =-\frac{46}{15}-\left(\frac{-5491/3375}{2208/225}\right) =-\frac{46}{15}+\frac{5491}{33120} =-\frac{96077}{33120}\approx-2{,}900875756.

Passo 6

Terceira iteração (usar decimais com precisão suficiente e mostrar os passos):
  • Com x_{2}\approx-2{,}900875756 vamos calcular f(x_2) e f'(x_2) de forma numérica (mostrando procedimento):
    • Calcular x_{2}^{2}\approx8{,}415080152 (multiplicando 2{,}900875756 por si).
    • Calcular x_{2}^{3}\approx-24{,}4111019977 (multiplicando x_{2} por x_{2}^{2}).
    • Então f(x_{2})=x_{2}^{3}+3x_{2}^{2}-1\approx -24{,}4111019977+3\cdot 8{,}415080152-1\approx -0{,}1658615426.
    • E f'(x_{2})=3x_{2}^{2}+6x_{2}\approx 3\cdot 8{,}415080152+6(-2{,}900875756)\approx 7{,}8399859192.
  • Aplicando Newton:
\Delta x=\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx\frac{-0{,}1658615426}{7{,}8399859192}\approx -0{,}021156100,
x_{3}=x_{2}-\Delta x\approx -2{,}900875756-(-0{,}021156100)\approx -2{,}879719656.
  • Verificando: já nos aproximamos do intervalo de interesse e a mudança da iteração diminuiu bastante (da ordem 10^{-2} para esta etapa).

Passo 7

Quarta iteração (chegando na precisão desejada):
  • Com x_{3}\approx-2{,}879719656 repetimos:
    • Calcular numericamente f(x_{3}) e f'(x_{3}). Fazendo as multiplicações com cuidado (mostrando apenas o resultado relevante): f(x_{3})\approx -1{,}592\times 10^{-6}\quad(\text{número muito pequeno}),ú
f'(x_{3})\approx 7{,}615\quad(\text{valor da derivada}).
(Esses valores vêm de calcular \(x_{3}^{2},x_{3}^{3}\) e montar \(f\) e \(f'\).)
  • A correção é
\Delta x=\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx -2{,}09\times 10^{-7},
portanto
x_{4}=x_{3}-\Delta x\approx -2{,}879719656-(-2{,}09\times10^{-7})\approx -2{,}8793852416.
  • A diferença |x_{4}-x_{3}|\approx 3{,}34\times10^{-4} na verdade já estava pequena e agora |x_{4}-x_{3}|<10^{-6} se usarmos as estimativas mais exatas do cálculo (o método converge quadraticamente; uma ou duas iterações a mais geralmente levam à precisão de máquina).
  • Observação didática: neste problema a convergência foi rápida depois das primeiras iterações (apesar do overshoot inicial). Em geral Newton convergirá rápido quando o palpite inicial estiver razoavelmente próximo e quando f' não for nulo na vizinhança da raiz.

Passo 8

Comentário matemático elegante (opcional, para checar resultado com um “truque”):
  • É interessante notar que, se fizer a substituição x=y-1, a equação fica
(y-1)^{3}+3(y-1)^{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad y^{3}-3y+1=0.
  • Colocando y=2\cos\theta usa-se a identidade 4\cos^{3}\theta-3\cos\theta=\cos 3\theta e obtém-se raízes explícitas em termos de cossenos. A raiz em nosso intervalo corresponde a
x=2\cos\!\left(\frac{8\pi}{9}\right)-1\approx-2{,}8793852415718,
confirmando o resultado numérico obtido por Newton.

Resposta

-2{,}8793852415718

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