Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
x=y^{2}+1, x=\frac{1}{2}, y=-2 \mathrm{e} y=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo dos y, a região R limitada por:
  • x=y^{2}+1,
  • x=\dfrac{1}{2},
  • y=-2 e y=2.
Informações relevantes dadas:
  • A região R é a faixa vertical para y variando entre -2 e 2 e, para cada y, x vai de x=\dfrac{1}{2} (lado esquerdo) até x=y^{2}+1 (lado direito).
  • O eixo de rotação é o eixo dos y (vertical).

Passo 2

Escolha do método (explicação didática):
  • Para volume por revolução em torno do eixo dos y, podemos usar fatias horizontais (método dos discos/anelos, também chamado de washers) porque as fronteiras do sólido são dadas por x como função de y (ou seja, para cada y temos um intervalo em x).
  • Ideia do método dos anéis: para um pequeno intervalo de altura dy em torno de uma altura fixa y, a rotação da seção horizontal entre x=\dfrac{1}{2} e x=y^{2}+1 gera um anel (disco com furo). O volume desse anel é aproximadamente a área da seção transversal vezes dy.
  • A área do anel é \pi\big(R_{\text{externo}}^{2}-R_{\text{interno}}^{2}\big), onde os raios são distâncias ao eixo dos y.

Passo 3

Identificar os raios externo e interno em função de y:
  • A distância do eixo dos y até a curva externa x=y^{2}+1 é o raio externo R(y)=y^{2}+1.
  • A distância do eixo dos y até a curva interna x=\dfrac{1}{2} é o raio interno r(y)=\dfrac{1}{2}.
Explicação simples: para qualquer ponto (x,y) a distância até o eixo y é justamente o valor de x (quando x\ge0), portanto os raios ficam iguais às abcissas das curvas.

Passo 4

Montar a integral do volume usando washers:
V=\int_{y=-2}^{2} \pi\Big(R(y)^{2}-r(y)^{2}\Big)\,dy
Substituindo R(y) e r(y):
V=\int_{-2}^{2} \pi\Big((y^{2}+1)^{2}-\big(\tfrac{1}{2}\big)^{2}\Big)\,dy.

Passo 5

Expandir e simplificar o integrando:
(y^{2}+1)^{2}=y^{4}+2y^{2}+1, \qquad \big(\tfrac{1}{2}\big)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Logo
(y^{2}+1)^{2}-\big(\tfrac{1}{2}\big)^{2}=y^{4}+2y^{2}+1-\tfrac{1}{4}=y^{4}+2y^{2}+\tfrac{3}{4}.
Assim a integral fica
V=\int_{-2}^{2} \pi\Big(y^{4}+2y^{2}+\tfrac{3}{4}\Big)\,dy.

Passo 6

Observação sobre simetria (ajuda a calcular mais fácil):
  • A função y\mapsto y^{4}+2y^{2}+\tfrac{3}{4} é par (somente potências pares de y e constante), então a integral de -2 a 2 é duas vezes a integral de 0 a 2. Assim
V=2\pi\int_{0}^{2}\Big(y^{4}+2y^{2}+\tfrac{3}{4}\Big)\,dy.
Isto reduz trabalho porque evita calcular valores negativos separadamente.

Passo 7

Integrar termo a termo usando a regra do poder: \displaystyle\int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq-1, e \int c\,dy = c y para constante c.
Calcule a primitiva:
\int\Big(y^{4}+2y^{2}+\tfrac{3}{4}\Big)\,dy = \dfrac{y^{5}}{5}+\dfrac{2y^{3}}{3}+\tfrac{3}{4}y.
Portanto
V=2\pi\left[\dfrac{y^{5}}{5}+\dfrac{2y^{3}}{3}+\tfrac{3}{4}y\right]_{0}^{2}.

Passo 8

Avaliar a primitiva em y=2 (em y=0 dá zero):
Calcular cada termo em y=2:
\dfrac{2^{5}}{5}=\dfrac{32}{5},\qquad \dfrac{2\cdot 2^{3}}{3}=\dfrac{16}{3},\qquad \tfrac{3}{4}\cdot 2=\tfrac{3}{2}.
Somando:
\dfrac{32}{5}+\dfrac{16}{3}+\tfrac{3}{2}.
Para somar, use o denominador comum 30:
\dfrac{32}{5}=\dfrac{192}{30},\quad \dfrac{16}{3}=\dfrac{160}{30},\quad \tfrac{3}{2}=\dfrac{45}{30}.
Somando os numeradores:
192+160+45=397,
logo a soma é \dfrac{397}{30}.

Passo 9

Colocar tudo junto:
V=2\pi\cdot \dfrac{397}{30}=\pi\cdot \dfrac{794}{30}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\dfrac{794}{30}=\dfrac{397}{15}.
Portanto
V=\pi\cdot \dfrac{397}{15}.

Resposta

\dfrac{397\pi}{15}

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