Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo dos
, a região
limitada por:
-
, -
, -
e .
Informações relevantes dadas:
- A região
é a faixa vertical para variando entre e e, para cada , vai de (lado esquerdo) até (lado direito). - O eixo de rotação é o eixo dos
(vertical).
Passo 2
Escolha do método (explicação didática):
- Para volume por revolução em torno do eixo dos
, podemos usar fatias horizontais (método dos discos/anelos, também chamado de washers) porque as fronteiras do sólido são dadas por como função de (ou seja, para cada temos um intervalo em ). - Ideia do método dos anéis: para um pequeno intervalo de altura
em torno de uma altura fixa , a rotação da seção horizontal entre e gera um anel (disco com furo). O volume desse anel é aproximadamente a área da seção transversal vezes . - A área do anel é
, onde os raios são distâncias ao eixo dos .
Passo 3
Identificar os raios externo e interno em função de
:
- A distância do eixo dos
até a curva externa é o raio externo - A distância do eixo dos
até a curva interna é o raio interno
Explicação simples: para qualquer ponto
a distância até o eixo
é justamente o valor de
(quando
), portanto os raios ficam iguais às abcissas das curvas.
Passo 4
Montar a integral do volume usando washers:
Substituindo
e
:
Passo 5
Expandir e simplificar o integrando:
Logo
Assim a integral fica
Passo 6
Observação sobre simetria (ajuda a calcular mais fácil):
- A função
é par (somente potências pares de e constante), então a integral de a é duas vezes a integral de a . Assim
Isto reduz trabalho porque evita calcular valores negativos separadamente.
Passo 7
Integrar termo a termo usando a regra do poder:
para
, e
para constante
.
Calcule a primitiva:
Calcule a primitiva:
Portanto
Passo 8
Avaliar a primitiva em
(em
dá zero):
Calcular cada termo em :
Calcular cada termo em
Somando:
Para somar, use o denominador comum
:
Somando os numeradores:
logo a soma é
.
Passo 9
Colocar tudo junto:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Portanto