Calcule as seguintes integrais:
f) integral(ln (x))^2 d x
g) integral z senh(z) d z

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular as integrais f) integral(ln(x))^2,dx e g) integral z,sinh(z),dz. O conteúdo central é a técnica de integração por partes, baseada na fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Para f), escolha u = (ln(x))^2 e dv = dx. Então du = 2tfracln(x)x,dx e v = x. Aplicando a fórmula de integração por partes temos
integral(ln(x))^2,dx = x(ln(x))^2 - integral xcdot2tfracln(x)x,dx = x(ln(x))^2 - 2integralln(x),dx
Agora calculamos integralln(x),dx por partes, escolhendo u=ln(x), dv=dx, de onde du=tfrac1x,dx e v=x. Assim,
integralln(x),dx = xln(x) - x
Substituindo de volta e simplificando, obtemos
integral(ln(x))^2,dx = x(ln(x))^2 - 2l(xln(x) - xr) + C = xl((ln(x))^2 - 2ln(x) + 2r) + C

Passo 3

Para g), escolha u = z e dv = sinh(z),dz. Então du = dz e v = cosh(z). Aplicando integração por partes,
integral zsinh(z),dz = zcosh(z) - integralcosh(z),dz = zcosh(z) - sinh(z) + C

Resposta

f) xl((ln(x))^2 - 2ln(x) + 2r) + C; g) zcosh(z) - sinh(z) + C.

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