Em cada um dos problemas, resolva o problema de valor inicial dado:
x^prime=(cc 5 & -1 3 & 1 ) x, x(0)=binom2-1

Passo 1

Temos o sistema linear homogêneo x' = Ax com
A = 5 & -1 3 & 1,
e condição inicial x(0)=binom2-1. O conteúdo é resolução de sistemas de EDOs usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Para encontrar os autovalores de A, montamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=det5-lambda & -1 3 & 1-lambda=(5-lambda)(1-lambda)+3=lambda^2-6lambda+8=0
As raízes são lambda1=2 e lambda2=4.

Passo 3

Para cada autovalor, achamos o autovetor:
Para lambda1=2:
(A-2I)v=3 & -1 3 & -1v=0implies 3v1-v2=0implies v^(1)=13
Para lambda2=4:
(A-4I)v=1 & -1 3 & -3v=0implies v1-v2=0implies v^(2)=11

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos:
x(t)=C1e^2t13+C2e^4t11

Passo 5

Usamos a condição inicial x(0)=binom2-1 para achar C1 e C2:
C113+C211=2-1
que dá o sistema
C1+C2=23C1+C2=-1implies C1=-tfrac32, C2=tfrac72

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial.

Resposta

x(t)= -tfrac32e^2t13+tfrac72e^4t11 =-tfrac32e^2t+tfrac72e^4t-tfrac92e^2t+tfrac72e^4t

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