Primeiro faça uma substituição e depois use integração por partes para calcular as integrais:
b) integral1^4 e^raizx d x
c) integral x^5 e^x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais b) integral1^4 e^raizx,dx e c) integral x^5e^x^2,dx, usando primeiro substituição e depois integração por partes. O conteúdo envolvido é mudança de variável para simplificar a integral e aplicação da fórmula integral u,dv = uv - integral v,du.

Passo 2

Para a integral b) fazemos a substituição t = raizx. Então x = t^2 e dx = 2t,dt. Quando x=1, t=1; quando x=4, t=2. Assim a integral vira:
integral1^4 e^raizx,dx = integral1^2 e^tcdot 2t,dt = 2integral1^2 t e^t,dt

Passo 3

Para calcular integral t e^t,dt aplicamos partes escolhendo u=t e dv=e^tdt. Então du=dt e v=e^t. Pela fórmula:
integral t e^t,dt = t e^t - integral e^t,dt = t e^t - e^t Avaliando de 1 a 2:
(2e^2-e^2) - (1e^1-e^1) = e^2 Multiplicando por 2, obtemos 2e^2.

Passo 4

Para a integral c) fazemos a substituição u = x^2, logo du = 2x,dx. Note que x^5dx = x^4cdot x,dx = (x^2)^2cdot x,dx = u^2du2 Assim:
integral x^5e^x^2,dx = integral u^2e^udu2 = tfrac12integral u^2e^u,du

Passo 5

Para calcular integral u^2e^u,du aplicamos partes primeiro com u1=u^2, dv1=e^udu, obtendo du1=2u,du, v1=e^u. Então:
integral u^2e^u,du = u^2e^u - integral 2u e^u,du = u^2e^u - 2integral u e^u,du Agora em integral u e^u,du escolhemos u2=u, dv2=e^udu, resultando em u e^u - e^u. Substituindo de volta:
integral u^2e^u,du = u^2e^u - 2(u e^u - e^u) = e^u(u^2 - 2u + 2) Logo
integral x^5e^x^2,dx = tfrac12,e^u(u^2-2u+2) + C = e^x^22l(x^4-2x^2+2r) + C

Resposta

b) 2e^2
c) e^x^22l(x^4-2x^2+2r) + C

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