Calcule as seguintes integrais fazendo as devidas substituições
\int \sqrt{b^{2} x^{2}-a^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível:
  • Pede calcular a integral
\int \sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}}\;dx,
onde a e b são constantes (assumir a>0 e b\neq0 para evitar ambiguidade).
  • Informação importante para o domínio da raiz: o radicando precisa ser não negativo, ou seja
b^{2}x^{2}-a^{2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad |x|\ge \frac{a}{|b|}.
  • Não há outras restrições no enunciado; vamos produzir uma primitiva válida no intervalo onde a expressão está definida.

Passo 2

Redução inicial e definição conveniente. É útil fatorar b para tirar o coeficiente quadrático da raiz. Defina
c := \frac{a}{b}.
Então
\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}} = b\sqrt{x^{2}-c^{2}}.
Assim a integral fica
I:=\int \sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}}\;dx = b\int \sqrt{x^{2}-c^{2}}\;dx.
Agora o problema reduz-se a calcular
J:=\int \sqrt{x^{2}-c^{2}}\;dx,
pois I=bJ. A partir daqui vou achar J e depois multiplicar por b.

Passo 3

Usar integração por partes para reduzir a potência fracionária. Lembre que a fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolha
u=\sqrt{x^{2}-c^{2}},\qquad dv=dx.
Então
du=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx,\qquad v=x.
Aplicando a fórmula:
J = x\sqrt{x^{2}-c^{2}} - \int x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx = x\sqrt{x^{2}-c^{2}} - \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx.

Passo 4

Simplificar a integral obtida usando a identidade x^{2}=(x^{2}-c^{2})+c^{2}. Então
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx = \int \frac{x^{2}-c^{2}}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx + \int \frac{c^{2}}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx.
A primeira parcela simplifica:
\int \frac{x^{2}-c^{2}}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx = \int \sqrt{x^{2}-c^{2}}\,dx = J.
Portanto, voltando à expressão de J,
J = x\sqrt{x^{2}-c^{2}} - \bigl(J + c^{2}\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx\bigr).
Isolando J,
2J = x\sqrt{x^{2}-c^{2}} - c^{2}\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx.
Logo
J = \frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-c^{2}} - \frac{c^{2}}{2}\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx.
Restou portanto calcular a integral recorrente
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx,
que é uma integral padrão — vamos calculá-la por substituição trigonométrica.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx por substituição trigonométrica. Use a substituição típica para radicais do tipo \sqrt{x^{2}-c^{2}}:
x = c\operatorname{sec}\theta,\qquad \theta\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr)\cup\bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr],
então
dx = c\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{x^{2}-c^{2}} = c\tan\theta.
Substituindo na integral:
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{c\tan\theta}\cdot c\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
A primitiva de \operatorname{sec}\theta é
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Voltando para x: \operatorname{sec}\theta = x/c e \tan\theta = \sqrt{x^{2}-c^{2}}/c. Assim
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx = \ln\!\left|\,\frac{x}{c} + \frac{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}{c}\right| + C = \ln\!\left|x + \sqrt{x^{2}-c^{2}}\right| + C',
onde a constante C' = C - \ln|c| foi absorvida na constante de integração.

Passo 6

Voltar à expressão de J. Substituindo o resultado do Passo 5 em
J = \frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-c^{2}} - \frac{c^{2}}{2}\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-c^{2}}}\,dx,
obtém-se
J = \frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-c^{2}} - \frac{c^{2}}{2}\ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}-c^{2}}\bigr| + C.

Passo 7

Retornar à integral original I=bJ. Lembrando c=\dfrac{a}{b}, temos c^{2}=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}. Multiplicando J por b:
I = bJ = b\left(\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-c^{2}} - \frac{c^{2}}{2}\ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}-c^{2}}\bigr|\right) + C.
Simplifique cada termo usando \sqrt{x^{2}-c^{2}}=\dfrac{\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}}}{b}:
b\cdot\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-c^{2}} = \frac{x}{2}\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}},
e
b\cdot\frac{c^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2b}.
Portanto uma forma limpa da primitiva é
\boxed{\,\int \sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}}\;dx = \frac{x}{2}\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}} - \frac{a^{2}}{2b}\ln\bigl|b x + \sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}}\bigr| + C\,},
onde a constante C incorpora qualquer logaritmo de constante que tenha surgido ao longo da substituição. (Observação: escrever o logaritmo com b x dentro é equivalente à forma com x+\sqrt{x^{2}-c^{2}}, pois altera apenas a constante de integração.)

Resposta

\displaystyle \frac{x}{2}\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}}-\frac{a^{2}}{2b}\ln\bigl|b x+\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}}\bigr|+C

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