Calcule as seguintes integrais fazendo as devidas substituições
\int \frac{d x}{\sqrt{5-4 x-2 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{5-4x-2x^{2}}}
Vamos listar o que temos e o que precisamos fazer:
  • Temos uma integral de uma função racional em que o denominador é uma raiz quadrada de um polinômio quadrático em x.
  • Normalmente, para integrais do tipo \int \frac{dx}{\sqrt{a+bx+cx^{2}}} é útil completar o quadrado no polinômio dentro da raiz e depois usar uma substituição trigonométrica apropriada (ou hiperbólica) para transformar a raiz em algo do tipo \sqrt{A^{2}-u^{2}} ou \sqrt{u^{2}-A^{2}}.
  • O objetivo será: (1) completar o quadrado em 5-4x-2x^{2}; (2) fazer uma mudança de variável para simplificar; (3) aplicar substituição trigonométrica; (4) integrar e voltar às variáveis originais.

Passo 2

Completar o quadrado no polinômio dentro da raiz. Primeiro escrevo o polinômio ordenado em potências decrescentes:
5-4x-2x^{2} = -2x^{2}-4x+5.
Fatorando -2 para facilitar completar o quadrado:
-2x^{2}-4x+5 = -2\bigl(x^{2}+2x\bigr)+5.
Agora completo o quadrado dentro do parêntese: x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1. Substituindo:
-2\bigl((x+1)^{2}-1\bigr)+5 = -2(x+1)^{2} +2 +5 = -2(x+1)^{2} +7.
Logo
5-4x-2x^{2} = 7 - 2(x+1)^{2}.
Esse resultado é importante: a expressão dentro da raiz tem a forma \;7-2(x+1)^{2}\;, que é \;A^{2}-u^{2}\; após factorar constantes adequadamente.

Passo 3

Façamos a substituição simples u = x+1. Então du = dx. A integral fica
\int \frac{dx}{\sqrt{5-4x-2x^{2}}} = \int \frac{du}{\sqrt{7-2u^{2}}}.
Agora escrevo a raiz isolando uma constante para obter uma forma padrão:
\sqrt{7-2u^{2}} = \sqrt{7}\,\sqrt{1-\frac{2}{7}u^{2}}.
Também é útil reconhecer o parâmetro quadrático em forma a^{2}-u^{2}. Note que
7-2u^{2} = 2\left(\frac{7}{2}-u^{2}\right),
então uma escolha natural é tomar
a^{2} = \frac{7}{2}\quad\text{ou}\quad a=\sqrt{\frac{7}{2}}.
Isso nos leva à forma \sqrt{2}\sqrt{a^{2}-u^{2}}, mas é mais direto usar a substituição trigonométrica padrão para \sqrt{a^{2}-u^{2}}.

Passo 4

Escolho a substituição trigonométrica
u = a\sin\theta,\qquad\text{com}\qquad a=\sqrt{\frac{7}{2}}.
Explicando por que: quando a integranda tem \sqrt{a^{2}-u^{2}} no denominador, escrever u=a\sin\theta transforma \sqrt{a^{2}-u^{2}} em a\cos\theta, o que simplifica muito a integral porque du=a\cos\theta\,d\theta e há cancelamento de \cos\theta.
Compute du e a raiz:
du = a\cos\theta\,d\theta,
7-2u^{2} = 7-2a^{2}\sin^{2}\theta.
Mas como a^{2}=\dfrac{7}{2}, tem-se 2a^{2}=7. Substituindo:
7-2u^{2} = 7-7\sin^{2}\theta = 7\cos^{2}\theta,
logo
\sqrt{7-2u^{2}} = \sqrt{7}\,|\cos\theta|.
Tomaremos um ramo da substituição em que \cos\theta\ge 0 (valores usuais de \theta para a substituição), assim \sqrt{7-2u^{2}}=\sqrt{7}\cos\theta.
Agora substituo na integral:
\int \frac{du}{\sqrt{7-2u^{2}}} = \int \frac{a\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{7}\cos\theta} = \int \frac{a}{\sqrt{7}}\,d\theta.
Como a=\sqrt{\dfrac{7}{2}}, o coeficiente é
\frac{a}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7/2}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto a integral ficou muito simples:
\int \frac{du}{\sqrt{7-2u^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int d\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\theta + C.

Passo 5

Volto às variáveis originais. Temos u=a\sin\theta, então
\sin\theta = \frac{u}{a} = \frac{u}{\sqrt{7/2}} = u\sqrt{\frac{2}{7}}.
Assim
\theta = \arcsin\!\left(u\sqrt{\frac{2}{7}}\right).
Lembrando que u=x+1, obtemos
\theta = \arcsin\!\left((x+1)\sqrt{\frac{2}{7}}\right).
Logo a primitiva é
\frac{1}{\sqrt{2}}\,\arcsin\!\left((x+1)\sqrt{\frac{2}{7}}\right) + C.
Podemos também escrever a constante dentro do arco seno de forma alternativa: \sqrt{\dfrac{2}{7}}=\dfrac{2}{\sqrt{14}}, então uma forma equivalente é
\frac{1}{\sqrt{2}}\,\arcsin\!\left(\frac{2(x+1)}{\sqrt{14}}\right)+C.

Passo 6

Breve comentário sobre domínio e sinais (para você ficar seguro na prova): a substituição trigonométrica exige que o argumento do \arcsin esteja entre -1 e 1, ou seja,
\left|(x+1)\sqrt{\frac{2}{7}}\right|\le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x+1|\le \sqrt{\frac{7}{2}}.
Isso coincide com a condição para a expressão dentro da raiz ser não negativa. Em diferentes intervalos pode aparecer um sinal \pm vindo de \cos\theta, mas a primitiva escrita com \arcsin ajusta o ramo correto quando se escolhe a constante C. Na prova, basta dar a primitiva na forma encontrada e, se pedirem domínio, mencionar a condição acima.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin\!\left((x+1)\sqrt{\tfrac{2}{7}}\right)+C

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