Calcule as seguintes integrais fazendo as devidas substituições \int \frac{d x}{\sqrt{5-4 x-2 x^{2}}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{5-4x-2x^{2}}}
Vamos listar o que temos e o que precisamos fazer:
Temos uma integral de uma função racional em que o denominador é uma raiz quadrada de um polinômio quadrático em x.
Normalmente, para integrais do tipo \int \frac{dx}{\sqrt{a+bx+cx^{2}}} é útil completar o quadrado no polinômio dentro da raiz e depois usar uma substituição trigonométrica apropriada (ou hiperbólica) para transformar a raiz em algo do tipo \sqrt{A^{2}-u^{2}} ou \sqrt{u^{2}-A^{2}}.
O objetivo será: (1) completar o quadrado em 5-4x-2x^{2}; (2) fazer uma mudança de variável para simplificar; (3) aplicar substituição trigonométrica; (4) integrar e voltar às variáveis originais.
Passo 2
Completar o quadrado no polinômio dentro da raiz. Primeiro escrevo o polinômio ordenado em potências decrescentes:
5-4x-2x^{2} = -2x^{2}-4x+5.
Fatorando -2 para facilitar completar o quadrado:
-2x^{2}-4x+5 = -2\bigl(x^{2}+2x\bigr)+5.
Agora completo o quadrado dentro do parêntese: x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1. Substituindo:
Isso nos leva à forma \sqrt{2}\sqrt{a^{2}-u^{2}}, mas é mais direto usar a substituição trigonométrica padrão para \sqrt{a^{2}-u^{2}}.
Passo 4
Escolho a substituição trigonométrica
u = a\sin\theta,\qquad\text{com}\qquad a=\sqrt{\frac{7}{2}}.
Explicando por que: quando a integranda tem \sqrt{a^{2}-u^{2}} no denominador, escrever u=a\sin\theta transforma \sqrt{a^{2}-u^{2}} em a\cos\theta, o que simplifica muito a integral porque du=a\cos\theta\,d\theta e há cancelamento de \cos\theta.
Compute du e a raiz:
du = a\cos\theta\,d\theta,
7-2u^{2} = 7-2a^{2}\sin^{2}\theta.
Mas como a^{2}=\dfrac{7}{2}, tem-se 2a^{2}=7. Substituindo:
7-2u^{2} = 7-7\sin^{2}\theta = 7\cos^{2}\theta,
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\sqrt{7-2u^{2}} = \sqrt{7}\,|\cos\theta|.
Tomaremos um ramo da substituição em que \cos\theta\ge 0 (valores usuais de \theta para a substituição), assim \sqrt{7-2u^{2}}=\sqrt{7}\cos\theta.
Breve comentário sobre domínio e sinais (para você ficar seguro na prova): a substituição trigonométrica exige que o argumento do \arcsin esteja entre -1 e 1, ou seja,
Isso coincide com a condição para a expressão dentro da raiz ser não negativa. Em diferentes intervalos pode aparecer um sinal \pm vindo de \cos\theta, mas a primitiva escrita com \arcsin ajusta o ramo correto quando se escolhe a constante C. Na prova, basta dar a primitiva na forma encontrada e, se pedirem domínio, mencionar a condição acima.