Calcule as seguintes integrais fazendo a substituição dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando a substituição dada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A integral a calcular é
. - A substituição indicada é
. - Não há limites de integração (é uma primitiva), então devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Explicando a ideia da substituição de forma simples: se fazemos uma mudança de variável
, então as diferenças elementares estão relacionadas por
. Isso permite reescrever uma integral em
como uma integral em
. Em fórmula geral:
Aqui
é a função que aparece composta com
,
é a derivada de
, e
é o diferencial da nova variável. Essa é a técnica que vamos aplicar.
Passo 3
Calculemos
a partir da substituição fornecida
. Diferenciando ambos os lados em relação a
, obtemos:
Multiplicando por
,
Isolando
para poder substituir na integral:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original. A integral
fica
Como
é constante, podemos colocá-la fora da integral:
Passo 5
Agora integramos em relação a
. Sabemos que a primitiva de
é
, porque
. Portanto:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 6
Voltamos à variável original
substituindo
:
Essa é a primitiva procurada.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado obtemos
que é exatamente o integrando original. Logo a resposta está correta.