Calcule as seguintes integrais fazendo a substituição dada:
\int \cos 2 x d x, u=2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral \int \cos 2x\,dx usando a substituição dada u=2x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integral a calcular é \int \cos 2x\,dx.
  • A substituição indicada é u=2x.
  • Não há limites de integração (é uma primitiva), então devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Explicando a ideia da substituição de forma simples: se fazemos uma mudança de variável u=g(x), então as diferenças elementares estão relacionadas por \,du=g'(x)\,dx. Isso permite reescrever uma integral em x como uma integral em u. Em fórmula geral:
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui f é a função que aparece composta com g(x), g' é a derivada de g, e du é o diferencial da nova variável. Essa é a técnica que vamos aplicar.

Passo 3

Calculemos du a partir da substituição fornecida u=2x. Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos:
\frac{du}{dx}=2.
Multiplicando por dx,
du=2\,dx.
Isolando dx para poder substituir na integral:
dx=\frac{du}{2}.

Passo 4

Substituímos u=2x e dx=\dfrac{du}{2} na integral original. A integral
\int \cos 2x\,dx
fica
\int \cos u\cdot\frac{du}{2}.
Como \dfrac{1}{2} é constante, podemos colocá-la fora da integral:
\int \cos 2x\,dx = \frac{1}{2}\int \cos u\,du.

Passo 5

Agora integramos em relação a u. Sabemos que a primitiva de \cos u é \sin u, porque \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u. Portanto:
\int \cos u\,du = \sin u + C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2} que estava fora:
\frac{1}{2}\int \cos u\,du = \frac{1}{2}\sin u + C.

Passo 6

Voltamos à variável original x substituindo u=2x:
\frac{1}{2}\sin u + C = \frac{1}{2}\sin(2x) + C.
Essa é a primitiva procurada.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)=\frac{1}{2}\cos(2x)\cdot 2=\cos(2x),
que é exatamente o integrando original. Logo a resposta está correta.

Resposta

\frac{1}{2}\sin(2x)+C

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