Calcule as integrais a seguin:
\int(2+\sqrt[4]{x}) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int(2+\sqrt[4]{x})\,dx.
Informações dadas relevantes:
  • A integranda é a soma de duas funções: uma constante 2 e a quarta raiz de x, que podemos escrever como \sqrt[4]{x}.
  • Não foi fornecida nenhuma condição adicional (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração C.
    O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) de (2+\sqrt[4]{x}).

Passo 2

Usamos propriedades básicas das integrais para simplificar antes de integrar:
  • Linearidade: \displaystyle \int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
  • Constante fatorada: \displaystyle \int c\,dx = c\int dx, para constante c.
Aplicando essas propriedades à nossa integral:
\int(2+\sqrt[4]{x})\,dx = \int 2\,dx + \int \sqrt[4]{x}\,dx.

Passo 3

Integramos o primeiro termo \displaystyle \int 2\,dx.
Regra: a integral de uma constante c em relação a x é cx (mais a constante de integração).
Logo,
\int 2\,dx = 2x.
(Explicação curta: a derivada de 2x é 2, então 2x é uma primitiva de 2.)

Passo 4

Transformamos a quarta raiz em potência para aplicar a regra da potência:
\sqrt[4]{x} = x^{1/4}.
Agora usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Breve motivo: derivando \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtemos x^n por causa da regra da derivação de potências.
Exemplo rápido para fixar: \displaystyle \int x^2\,dx = \frac{x^{3}}{3}, porque ao derivar \frac{x^3}{3} volta-se a x^2.

Passo 5

Aplicando a regra da potência com n=\tfrac{1}{4}:
\int x^{1/4}\,dx = \frac{x^{1/4+1}}{1/4+1} + C = \frac{x^{5/4}}{5/4} + C.
Simplificando a fração \dfrac{1}{5/4} = \dfrac{4}{5}, obtemos
\int x^{1/4}\,dx = \frac{4}{5}x^{5/4} + C.

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos e lembrando de colocar uma única constante de integração C:
\int(2+\sqrt[4]{x})\,dx = 2x + \frac{4}{5}x^{5/4} + C.
(Facilita a checagem: derivando 2x+\tfrac{4}{5}x^{5/4} obtemos 2 + x^{1/4}, que é a integranda original.)

Resposta

2x+\frac{4}{5}x^{5/4}+C

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