Calcule as integrais a seguin:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas relevantes:
- A integranda é a soma de duas funções: uma constante
e a quarta raiz de , que podemos escrever como . - Não foi fornecida nenhuma condição adicional (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração
.
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) de.
Passo 2
Usamos propriedades básicas das integrais para simplificar antes de integrar:
- Linearidade:
. - Constante fatorada:
, para constante .
Aplicando essas propriedades à nossa integral:
Passo 3
Integramos o primeiro termo
.
Regra: a integral de uma constante em relação a
é
(mais a constante de integração).
Logo,
Regra: a integral de uma constante
Logo,
(Explicação curta: a derivada de
é
, então
é uma primitiva de
.)
Passo 4
Transformamos a quarta raiz em potência para aplicar a regra da potência:
Agora usamos a regra da potência para integrais: para
,
Breve motivo: derivando
obtemos
por causa da regra da derivação de potências.
Exemplo rápido para fixar:
, porque ao derivar
volta-se a
.
Passo 5
Aplicando a regra da potência com
:
Simplificando a fração
, obtemos
Passo 6
Somando as primitivas dos dois termos e lembrando de colocar uma única constante de integração
:
(Facilita a checagem: derivando
obtemos
, que é a integranda original.)