Calcule as seguintes integrais fazendo a substituição dada:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
com a substituição proposta
. Vou interpretar aqui que o expoente
corresponde a
(ou seja, que a integral correta é
), pois a substituição fornecida envolve
. As informações relevantes são, portanto:
- Integral a calcular:
. - Substituição dada:
.
Passo 2
Explicando a ideia da substituição: a técnica de substituição troca a variável de integração por uma nova variável
de modo a obter uma integral mais simples. Aqui escolhemos
porque o expoente
fica exatamente
, e o diferencial
se relaciona com
, que está presente na integral original.
Calculemos
a partir de
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
temos
Isso é essencial: conseguimos expressar o produto
(presente na integral) em função de
.
Passo 3
Agora substituímos na integral. Usando
temos
e, conforme achamos,
. Portanto
Expliquei cada substituição: o fator
virou
e o diferencial
virou
.
Passo 4
Integramos em
. A antiderivada de
é
. Assim
onde
é a constante de integração. Aqui usei a fórmula básica: se
então
.
Passo 5
Voltamos à variável
substituindo
novamente. Isso dá
Portanto uma primitiva da função
é
.
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): diferencie a resposta para conferir. Usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando original. Perfeito!