Calcule as seguintes integrais fazendo a substituição dada:
\int x e^{-\lambda^{2}} d x, u=-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral \displaystyle \int x e^{-\lambda^{2}}\,dx com a substituição proposta u=-x^{2}. Vou interpretar aqui que o expoente \lambda^{2} corresponde a x^{2} (ou seja, que a integral correta é \displaystyle \int x e^{-x^{2}}\,dx), pois a substituição fornecida envolve x. As informações relevantes são, portanto:
  • Integral a calcular: \displaystyle \int x e^{-x^{2}}\,dx.
  • Substituição dada: \displaystyle u=-x^{2}.

Passo 2

Explicando a ideia da substituição: a técnica de substituição troca a variável de integração por uma nova variável u de modo a obter uma integral mais simples. Aqui escolhemos u=-x^{2} porque o expoente -x^{2} fica exatamente u, e o diferencial du se relaciona com x\,dx, que está presente na integral original.
Calculemos du a partir de u=-x^{2}. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
du = \frac{d}{dx}(-x^{2})\,dx = -2x\,dx.
Isolando x\,dx temos
x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.
Isso é essencial: conseguimos expressar o produto x\,dx (presente na integral) em função de du.

Passo 3

Agora substituímos na integral. Usando u=-x^{2} temos e^{-x^{2}}=e^{u} e, conforme achamos, x\,dx=-\tfrac{1}{2}du. Portanto
\int x e^{-x^{2}}\,dx = \int e^{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du.
Expliquei cada substituição: o fator e^{-x^{2}} virou e^{u} e o diferencial x\,dx virou -\tfrac{1}{2}du.

Passo 4

Integramos em u. A antiderivada de e^{u} é e^{u}. Assim
-\tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du = -\tfrac{1}{2} e^{u} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui usei a fórmula básica: se F'(u)=e^{u} então \int e^{u}\,du = e^{u}+C.

Passo 5

Voltamos à variável x substituindo u=-x^{2} novamente. Isso dá
-\tfrac{1}{2} e^{u} + C = -\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}} + C.
Portanto uma primitiva da função x e^{-x^{2}} é -\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}} + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): diferencie a resposta para conferir. Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\!\left(-\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}}\right) = -\tfrac{1}{2} \cdot e^{-x^{2}} \cdot \frac{d}{dx}(-x^{2}) = -\tfrac{1}{2} \cdot e^{-x^{2}} \cdot (-2x) = x e^{-x^{2}},
que é exatamente o integrando original. Perfeito!

Resposta

-\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}} + C

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