Calcule as seguintes integrais por frações parciais:
\int \frac{6 x^{2}+8 x-4}{(x-3)\left(x^{2}+6 x+10\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{6 x^{2}+8 x-4}{(x-3)\left(x^{2}+6 x+10\right)}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é \;6x^{2}+8x-4\;.
  • O denominador é o produto \;(x-3)\,(x^{2}+6x+10)\;.
  • A quadrática \;x^{2}+6x+10\; não tem raízes reais (discriminante 36-40=-4<0); isso significa que, no desenvolvimento em frações parciais, o termo correspondente a essa quadrática será do tipo \dfrac{Bx+C}{x^{2}+6x+10} (ou seja, numerador linear).
  • A tarefa é decompor em frações parciais e integrar termo a termo.

Passo 2

Vamos montar a decomposição em frações parciais com coeficientes desconhecidos. Como \;x-3\; é linear e \;x^{2}+6x+10\; é quadrática irredutível, a forma geral é
\frac{6 x^{2}+8 x-4}{(x-3)\left(x^{2}+6 x+10\right)} = \frac{A}{x-3} + \frac{Bx+C}{x^{2}+6x+10},
onde A,B,C são constantes a determinar. Esta forma vem da regra: para fator linear usamos constante no numerador; para fator quadrático irreduzível usamos numerador linear.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-3)(x^{2}+6x+10) para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
6x^{2}+8x-4 = A\,(x^{2}+6x+10) + (Bx+C)(x-3).
Agora expandimos o lado direito para comparar coeficientes:
A x^{2}+6A x+10A + Bx^{2}-3Bx + Cx -3C.
Juntando termos semelhantes:
(A+B)x^{2} + (6A-3B+C)x + (10A-3C).
Igualando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo (6x^2+8x-4) obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 6,\\[4pt] 6A - 3B + C = 8,\\[4pt] 10A - 3C = -4. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação:
B = 6 - A.
Substituímos em 6A - 3B + C = 8:
6A - 3(6-A) + C = 8 \Rightarrow 6A -18 +3A + C = 8 \Rightarrow 9A + C = 26,
portanto
C = 26 - 9A.
Agora usamos a terceira equação 10A - 3C = -4 substituindo C:
10A - 3(26 - 9A) = -4 \Rightarrow 10A -78 +27A = -4 \Rightarrow 37A = 74 \Rightarrow A = 2.
Com A=2 obtemos
B = 6 - A = 4,
e
C = 26 - 9A = 26 - 18 = 8.

Passo 5

Portanto a decomposição em frações parciais é
\frac{6 x^{2}+8 x-4}{(x-3)\left(x^{2}+6 x+10\right)} = \frac{2}{x-3} + \frac{4x+8}{x^{2}+6x+10}.
Observação: podemos fatorar 4x+8 = 4(x+2). E também é conveniente completar o quadrado no denominador quadrático:
x^{2}+6x+10 = (x+3)^{2}+1,
pois isso facilita integrar a parte com \arctan.

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{6 x^{2}+8 x-4}{(x-3)\left(x^{2}+6 x+10\right)}\,dx = \int \frac{2}{x-3}\,dx + \int \frac{4(x+2)}{(x+3)^{2}+1}\,dx.
Vamos tratar o segundo integral separando x+2 = (x+3)-1:
\frac{4(x+2)}{(x+3)^{2}+1} = \frac{4(x+3)}{(x+3)^{2}+1} - \frac{4}{(x+3)^{2}+1}.
Assim
\int \frac{4(x+2)}{(x+3)^{2}+1}\,dx = 4\int \frac{x+3}{(x+3)^{2}+1}\,dx - 4\int \frac{1}{(x+3)^{2}+1}\,dx.

Passo 7

Integramos cada parte:
  • Para \displaystyle \int \frac{2}{x-3}\,dx temos primitiva \;2\ln|x-3|\; (regra \int \frac{1}{x-a}dx = \ln|x-a| + C).
  • Para \displaystyle 4\int \frac{x+3}{(x+3)^{2}+1}\,dx fazemos a substituição u=(x+3)^{2}+1 ou observar que \frac{d}{dx}[(x+3)^{2}+1]=2(x+3). Logo
4\int \frac{x+3}{(x+3)^{2}+1}\,dx = 4\cdot\frac{1}{2}\ln\big((x+3)^{2}+1\big) = 2\ln\big((x+3)^{2}+1\big).
  • Para \displaystyle -4\int \frac{1}{(x+3)^{2}+1}\,dx usamos \int \frac{1}{u^{2}+1}\,du = \arctan u com u=x+3. Assim
-4\int \frac{1}{(x+3)^{2}+1}\,dx = -4\arctan(x+3).

Passo 8

Somando todas as partes obtemos a primitiva geral:
2\ln|x-3| + 2\ln\big((x+3)^{2}+1\big) - 4\arctan(x+3) + C.
Podemos reescrever (x+3)^{2}+1 como x^{2}+6x+10 (mesma expressão), então uma forma alternativa e mais direta é:
2\ln|x-3| + 2\ln\!\big(x^{2}+6x+10\big) - 4\arctan(x+3) + C.

Resposta

2\ln|x-3| + 2\ln\big(x^{2}+6x+10\big) - 4\arctan(x+3) + C

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