O denominador é o produto \;(x-3)\,(x^{2}+6x+10)\;.
A quadrática \;x^{2}+6x+10\; não tem raízes reais (discriminante 36-40=-4<0); isso significa que, no desenvolvimento em frações parciais, o termo correspondente a essa quadrática será do tipo \dfrac{Bx+C}{x^{2}+6x+10} (ou seja, numerador linear).
A tarefa é decompor em frações parciais e integrar termo a termo.
Passo 2
Vamos montar a decomposição em frações parciais com coeficientes desconhecidos. Como \;x-3\; é linear e \;x^{2}+6x+10\; é quadrática irredutível, a forma geral é
onde A,B,C são constantes a determinar. Esta forma vem da regra: para fator linear usamos constante no numerador; para fator quadrático irreduzível usamos numerador linear.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por (x-3)(x^{2}+6x+10) para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
6x^{2}+8x-4 = A\,(x^{2}+6x+10) + (Bx+C)(x-3).
Agora expandimos o lado direito para comparar coeficientes:
A x^{2}+6A x+10A + Bx^{2}-3Bx + Cx -3C.
Juntando termos semelhantes:
(A+B)x^{2} + (6A-3B+C)x + (10A-3C).
Igualando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo (6x^2+8x-4) obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 6,\\[4pt] 6A - 3B + C = 8,\\[4pt] 10A - 3C = -4. \end{cases}]
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação:
B = 6 - A.
Substituímos em 6A - 3B + C = 8:
6A - 3(6-A) + C = 8 \Rightarrow 6A -18 +3A + C = 8 \Rightarrow 9A + C = 26,