8- Uma residência deve ser mantida aquecida no inverno, utilizando-se umabomba de calor. Os cálculos de perda de calor através das paredes e teto do imóvel indicam um valor de 40,0 \mathrm{~kW}. A temperatura deve ser mantida em 23,5o C no interior da residência. Pede-se a mínima potência para acionar o compressor da bomba de calor, quando a temperatura externa for de 0^{\circ} \mathrm{C}(\mathrm{kW}). (\mathrm{R}=3,17 \mathrm{~kW}).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Perda de calor através das paredes e teto: \displaystyle 40{,}0\\ \mathrm{kW}.
  • Temperatura interior que deve ser mantida: \displaystyle 23{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa: \displaystyle 0^\circ\mathrm{C}.
  • Pergunta: qual é a potência mínima para acionar o compressor da bomba de calor (em \mathrm{kW}) para suprir a perda de \displaystyle 40{,}0\\ \mathrm{kW}?

Passo 2

Qual é a ideia física que usamos para achar a potência mínima? Vou explicar devagarinho. Para uma bomba de calor que entrega calor ao interior ( Q_h), a potência elétrica fornecida ao compressor ( W) adiciona-se ao calor extra retirado do exterior ( Q_c), obedecendo à conservação de energia:
Q_h = Q_c + W.
A eficiência máxima possível (ou seja, o menor W para dado Q_h) ocorre para um ciclo reversível ideal; nesse caso vale a relação de reversibilidade entre as trocas de calor:
\frac{Q_c}{Q_h}=\frac{T_c}{T_h},
onde T_h e T_c são as temperaturas absolutas (em kelvin) das fontes quente e fria. A partir disso podemos definir o coeficiente de desempenho de aquecimento (COP, aqui chamado de \mathrm{COP}_\mathrm{h}), que é a razão entre o calor entregue ao ambiente e o trabalho fornecido:
\mathrm{COP}_\mathrm{h}=\frac{Q_h}{W}.
Para o ciclo reversível (o melhor caso), substituindo Q_c=Q_h-T_h e usando a relação acima chega-se à forma prática:
\mathrm{COP}_\mathrm{h}=\frac{T_h}{T_h-T_c}.
Explicando as variáveis:
  • \displaystyle T_h é a temperatura interior em kelvin.
  • \displaystyle T_c é a temperatura exterior em kelvin.
  • \displaystyle \mathrm{COP}_\mathrm{h} é a medida de quantas unidades de calor são entregues ao interior por cada unidade de trabalho elétrica fornecida; quanto maior, menos potência elétrica é necessária.

Passo 3

Converter as temperaturas dadas em graus Celsius para kelvin (regra: \displaystyle T(\mathrm{K})=t(^\circ\mathrm{C})+273{,}15):
\displaystyle T_h = 23{,}5 + 273{,}15 = 296{,}65\\ \mathrm{K},
\displaystyle T_c = 0 + 273{,}15 = 273{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o \mathrm{COP}_\mathrm{h} ideal usando a fórmula da etapa anterior:
\displaystyle \mathrm{COP}_\mathrm{h}=\frac{T_h}{T_h-T_c}=\frac{296{,}65}{296{,}65-273{,}15}.
Calcule o denominador:
\displaystyle 296{,}65-273{,}15=23{,}5.
Portanto
\displaystyle \mathrm{COP}_\mathrm{h}=\frac{296{,}65}{23{,}5}\approx 12{,}6268\ldots \approx 12{,}63.

Passo 5

Agora relacionamos o calor que a bomba precisa fornecer ( Q_h) com a potência elétrica mínima W. Pela definição de \mathrm{COP}_\mathrm{h}:
\displaystyle W=\frac{Q_h}{\mathrm{COP}_\mathrm{h}}.
Substituindo Q_h=40{,}0\\ \mathrm{kW} e \mathrm{COP}_\mathrm{h}\approx 12{,}6268\ldots:
\displaystyle W=\frac{40{,}0}{12{,}6268\ldots}\\ \mathrm{kW}\approx 3{,}168\ldots\\ \mathrm{kW}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) obtemos \displaystyle 3{,}17\\ \mathrm{kW}. Esse é o menor valor teórico (caso ideal reversível). Na prática aparelhos reais têm perdas e exigirão potência um pouco maior, mas esse é o limite mínimo teórico — boa referência para a prova e para estimativas rápidas.

Resposta

3{,}17\\ \mathrm{kW}

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