Calcule as seguintes integrais por frações parciais:
\int \frac{12 x^{2}+21 x+3}{(x+1)\left(3 x^{2}+5 x-2\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{12 x^{2}+21 x+3}{(x+1)\left(3 x^{2}+5 x-2\right)}\,dx.
Informações dadas e observações úteis:
  • O integrando é uma função racional (fração de polinómios).
  • O denominador é (x+1)\left(3 x^{2}+5 x-2\right).
  • Note que \deg(\text{numerador})=2 e \deg(\text{denominador})=3, logo a fração é própria (não é preciso divisão algébrica).
  • Vamos ter que decompor em frações parciais para integrar termoa termo.

Passo 2

Fatorar o denominador quadrático para obter fatores lineares (se possível). Calculamos as raízes de 3x^{2}+5x-2:
\Delta = 5^{2}-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49,
x=\frac{-5\pm7}{6}\Rightarrow x=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\quad\text{ou}\quad x=\frac{-12}{6}=-2.
Portanto
3x^{2}+5x-2=(3x-1)(x+2).
O denominador total é
(x+1)(3x-1)(x+2),
ou seja, três fatores lineares distintos.

Passo 3

Teoria rápida (didática e prática): quando o denominador tem fatores lineares distintos (x-a)\,(x-b)\,(x-c), a decomposição em frações parciais tem a forma
\frac{\text{numerador}}{(x-a)(x-b)(x-c)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{x-c},
onde A,B,C são constantes a determinar. Aqui usamos essa forma com os fatores (x+1), (x+2) e (3x-1). Escrevemos
\frac{12 x^{2}+21 x+3}{(x+1)(x+2)(3x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{3x-1}.
Multiplicando os dois lados pelo denominador (x+1)(x+2)(3x-1) obtemos a identidade polinomial
12 x^{2}+21 x+3 = A(x+2)(3x-1) + B(x+1)(3x-1) + C(x+1)(x+2).
Para encontrar A,B,C podemos usar o método das raízes (substituir valores de x que anulam cada fator) — é o jeito mais rápido.

Passo 4

Determinar A,B,C por substituição:
  • Tomando x=-1 (anula x+1):
12(-1)^{2}+21(-1)+3 = -6 = A\cdot( -1+2)(3(-1)-1) = A\cdot(1)(-4) = -4A,
logo A=\dfrac{-6}{-4}=\dfrac{3}{2}.
  • Tomando x=-2 (anula x+2):
12(-2)^{2}+21(-2)+3 = 48-42+3=9 = B\cdot(-2+1)(3(-2)-1)=B\cdot(-1)(-7)=7B,
logo B=\dfrac{9}{7}.
  • Tomando x=\dfrac{1}{3} (anula 3x-1):
12\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}+21\left(\tfrac{1}{3}\right)+3 = \frac{12}{9}+7+3=\frac{4}{3}+10=\frac{34}{3},
e
(x+1)(x+2)\Big|_{x=1/3}=\frac{4}{3}\cdot\frac{7}{3}=\frac{28}{9},
logo
\frac{34}{3}=C\cdot\frac{28}{9}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{34}{3}\cdot\frac{9}{28}=\frac{306}{84}=\frac{51}{14}.
Concluímos:
A=\frac{3}{2},\qquad B=\frac{9}{7},\qquad C=\frac{51}{14}.

Passo 5

Reescrever a integral usando a decomposição e integrar termo a termo:
\int \frac{12 x^{2}+21 x+3}{(x+1)(x+2)(3x-1)}\,dx = \int\left(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{3x-1}\right)\,dx.
Substituímos os valores de A,B,C:
= \int\left(\frac{3/2}{x+1}+\frac{9/7}{x+2}+\frac{51/14}{3x-1}\right)\,dx.
Explicando as integrais que vamos usar (fórmulas e porquê):
  • Sabemos que \displaystyle \int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+K. Aqui a é constante.
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{\alpha x+\beta}\,dx usamos substituição simples u=\alpha x+\beta, du=\alpha dx, obtendo \int \frac{1}{\alpha x+\beta}\,dx=\frac{1}{\alpha}\ln|\alpha x+\beta|+K.
Aplicando essas fórmulas:
  • \displaystyle \int \frac{3/2}{x+1}\,dx=\frac{3}{2}\ln|x+1|.
  • \displaystyle \int \frac{9/7}{x+2}\,dx=\frac{9}{7}\ln|x+2|.
  • Para a terceira, \displaystyle \int \frac{51/14}{3x-1}\,dx=\frac{51}{14}\cdot\frac{1}{3}\ln|3x-1|=\frac{51}{42}\ln|3x-1|.
    Simplificando \dfrac{51}{42}=\dfrac{17}{14}.

Passo 6

Juntando os termos integrados (sem esquecer a constante de integração +C), obtemos a primitiva buscada.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}\ln|x+1|+\frac{9}{7}\ln|x+2|+\frac{17}{14}\ln|3x-1|+C

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