Calcule as seguintes integrais:
i) integral1^4 raizt ln (t) d t
j) integral1^2 ln (x)x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais definidas usando, basicamente, o método de integração por partes. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
para cada uma.

Passo 2

Para a integral (i) integral1^4 raizt,ln(t),dt: escolhemos
u = ln(t), dv = t^1/2,dt;
então
du = 1t,dt,
v = integral t^1/2,dt = 23t^3/2

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes e avaliando de 1 a 4, temos
O primeiro termo é
integral1^4 raizt,ln(t),dt = l23t^3/2ln(t)r|1^4 - integral1^4 23t^3/2t,dt
e o segundo é
23l(4^3/2ln(4) - 1^3/2ln(1)r) = 163ln(4)

Passo 4

Portanto, a integral (i) fica
163ln(4) - 289 = 323ln(2) - 289

Passo 5

Agora a integral (j) integral1^2 ln(x)x^2,dx. De novo partes, escolhendo
u = ln(x), dv = x^-2,dx;
du = 1x,dx,
v = integral x^-2,dx = -1x

Passo 6

Aplicando e avaliando de 1 a 2:
integral1^2 ln(x)x^2,dx = l-ln(x)xr|1^2 - integral1^2 l(-1xr)1x,dx
O primeiro termo dá -tfracln(2)2. O segundo é
integral1^2 1x^2,dx = l-1xr|1^2 = 12

Passo 7

Somando, obtemos para (j)
-ln(2)2 + 12 = 1 - ln(2)2

Resposta

i) 323ln(2) - 289
j) 1-ln(2)2

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