A entrada e saída de um SLIT causal estão relacionados pela seguinte equação diferencial
d^2 y(t)d t^2+6 d y(t)d t+8 y(t)=2 x(t)
Qual a saída desse sistema se x(t)=e^-2 t u(t) for aplicado na entrada?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial que relaciona a entrada e a saída de um sistema chamado SLIT causal. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais e transformadas de Laplace. Pra resolver, vamos precisar conhecer como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e resolver para , a transformada da saída.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação diferencial dada:
d^2 y(t)d t^2 + 6 d y(t)d t + 8 y(t) = 2 x(t)
Aqui, é a saída que queremos encontrar e é a entrada, onde é a função degrau unitário.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
  • s^2 Y(s) + 6 s Y(s) + 8 Y(s) = 2 X(s)
Assumindo condições iniciais nulas ( e ), a equação transformada fica:

Passo 4

Agora precisamos encontrar Le^at u(t) = 1s - a , a transformada de Laplace da entrada X(s) = 1s + 2 . Sabemos que:
(s^2 + 6s + 8) Y(s) = 2s + 2
Substituindo :
Então, a equação transformada fica:

Passo 5

Vamos isolar Y(s) = 2(s + 2)(s^2 + 6s + 8) :
s^2 + 6s + 8 = (s + 2)(s + 4)
Agora, vamos fatorar o denominador Y(s) = 2(s + 2)^2(s + 4) :
Substituindo de volta:

Passo 6

Para encontrar 2(s + 2)^2(s + 4) = As + 2 + B(s + 2)^2 + Cs + 4 , precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de 2 = A(s + 2)(s + 4) + B(s + 4) + C(s + 2)^2 . Vamos decompor 2 = A(0)(2) + B(2) + C(0) Rightarrow 2 = 2B Rightarrow B = 1 em frações parciais:
2 = A(-2)(0) + B(0) + C(-2)^2 Rightarrow 2 = 4C Rightarrow C = 12
Multiplicando ambos os lados por 2 = A(2)(4) + B(4) + C(2)^2 Rightarrow 2 = 8A + 4B + 4C :
2 = 8A + 4(1) + 4(12) Rightarrow 2 = 8A + 4 + 2 Rightarrow 8A = -4 Rightarrow A = -12
Vamos encontrar os valores de Y(s) = -12 cdot 1s + 2 + 1(s + 2)^2 + 12 cdot 1s + 4 , e substituindo valores convenientes de :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para outro valor, digamos :
Sabemos que e :
Então, a decomposição fica:

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
  1. Para -12 e^-2t :
t e^-2t
  1. Para 12 e^-4t :
  1. Para :

Passo 8

Juntando tudo, a saída y(t) = -12 e^-2t + t e^-2t + 12 e^-4t é:
y(t) = ( t - 12 ) e^-2t + 12 e^-4t
Podemos simplificar um pouco:

Resposta

A saída do sistema é
y(t) = ( t - 12 ) e^-2t + 12 e^-4t

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