A entrada e saída de um SLIT causal estão relacionados pela seguinte equação diferencial
Qual a saída desse sistema se
for aplicado na entrada?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial que relaciona a entrada
e a saída
de um sistema chamado SLIT causal. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais e transformadas de Laplace. Pra resolver, vamos precisar conhecer como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e resolver para
, a transformada da saída.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação diferencial dada:
Aqui,
é a saída que queremos encontrar e
é a entrada, onde
é a função degrau unitário.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Assumindo condições iniciais nulas (
e
), a equação transformada fica:
Passo 4
Agora precisamos encontrar
, a transformada de Laplace da entrada
. Sabemos que:
Substituindo
:
Então, a equação transformada fica:
Passo 5
Vamos isolar
:
Agora, vamos fatorar o denominador
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Para encontrar
, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de
. Vamos decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Vamos encontrar os valores de
,
e
substituindo valores convenientes de
:
- Para
:
- Para
:
- Para outro valor, digamos
:
Sabemos que
e
:
Então, a decomposição fica:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Juntando tudo, a saída
é:
Podemos simplificar um pouco:
Resposta
A saída do sistema é