Primeiro faça uma substituição e depois use integração por partes para calcular as integrais:
a) integral sen(raizx) d x
b) integral1^4 e^raizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais a) integral sin(raizx),dx e b) integral1^4 e^raizx,dx usando primeiro substituição e depois integração por partes. O conteúdo principal é técnica de integração por substituição seguida de integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição u=raizx. Então x=u^2 e dx=2u,du.
Após a substituição, as integrais ficam: a) integral sin(raizx),dx=integral sin(u)cdot2u,du=2integral usin(u),du b) ajustando limites: quando x=1, u=1; quando x=4, u=2. Então integral1^4e^raizx,dx=integral1^2e^ucdot2u,du=2integral1^2u e^u,du.

Passo 3

Para a) calculamos 2integral usin(u),du por partes. Seja A=u e dB=sin(u),du. Então dA=du e B=-cos(u). Logo,
2integral usin(u),du=2l(u(-cos u)-integral(-cos u),dur)=2l(-ucos u+integralcos u,dur)=2(-ucos u+sin u)

Passo 4

Voltando a u=raizx, obtemos
-2raizxcos(raizx)+2sin(raizx)+C

Passo 5

Para b) fazemos 2integral1^2u e^u,du por partes. Seja A=u, dB=e^u,du. Então dA=du, B=e^u. Assim,
2integral1^2u e^u,du=2l(u e^u-integral e^u,dur)|1^2=2l(u e^u-e^ur)|1^2

Passo 6

Calculando nos limites: em u=2 fica 2(2e^2-e^2)=2e^2 e em u=1 fica 2(e-e)=0.
Portanto, o resultado final é 2e^2.

Resposta

a) -2raizxcos(raizx)+2sin(raizx)+C.
b) 2e^2.

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