Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}-2 u^{2}}{u} d u

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}-2 u^{2}}{u}\,du.
Informações dadas:
\text{limites: } a=1,\; b=9.
\text{integrando: } \frac{\sqrt{u}-2u^{2}}{u}.
Pergunta: calcular numericamente o valor de \displaystyle\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}-2 u^{2}}{u}\,du.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando usando regras de potências. Escrevemos \sqrt{u}=u^{1/2} e aplicamos a regra \dfrac{u^{m}}{u^{n}}=u^{m-n}. Assim
\frac{\sqrt{u}-2u^{2}}{u}=\frac{u^{1/2}}{u}-2\frac{u^{2}}{u}=u^{1/2-1}-2u^{2-1}=u^{-1/2}-2u.
Portanto a integral fica
\int_{1}^{9}\left(u^{-1/2}-2u\right)\,du.

Passo 3

Escolhemos integrar termo a termo usando a linearidade da integral e a regra da potência para primitivação. A linearidade diz que
\int (f+g)=\int f+\int g,\qquad \int c\cdot f=c\int f,
para constantes c. A regra da potência (primitiva) é a ferramenta apropriada aqui.

Passo 4

Apresento a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui u é a variável de integração e n é o expoente.
Aplicando essa regra aos termos:
  • Para u^{-1/2}, temos n=-\tfrac{1}{2}. Então
\int u^{-1/2}\,du=\frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1}=\frac{u^{1/2}}{1/2}=2u^{1/2}=2\sqrt{u}.
  • Para -2u, usamos o fator constante e a regra com n=1:
\int -2u\,du=-2\int u\,du=-2\cdot\frac{u^{2}}{2}=-u^{2}.
Somando as primitivas, uma primitiva F(u) do integrando é
F(u)=2\sqrt{u}-u^{2}.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
\int_{1}^{9}\left(u^{-1/2}-2u\right)\,du=F(9)-F(1),
onde F(u)=2\sqrt{u}-u^{2}.
Calculamos:
F(9)=2\sqrt{9}-9^{2}=2\cdot 3-81=6-81=-75,
F(1)=2\sqrt{1}-1^{2}=2\cdot 1-1=2-1=1.
Portanto
\int_{1}^{9}\frac{\sqrt{u}-2u^{2}}{u}\,du=F(9)-F(1)=-75-1=-76.

Resposta

-76

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