Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4 x}} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral
\int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{integração de } \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x}}.çã
Não há outras partes do enunciado; portanto precisamos encontrar uma técnica apropriada e resolver a integral indefinida, retornando a primitiva mais uma constante de integração.

Passo 2

Observação útil (manobra algébrica): a expressão dentro da raiz pode ser escrita completando o quadrado. Vamos reescrever x^{2}+4x como um quadrado menos uma constante:
x^{2}+4x = (x+2)^{2}-4.
Explicando a técnica: completar o quadrado consiste em transformar x^{2}+4x numa forma (x+b)^{2}-\text{const} para facilitar substituições ou reconhecer derivadas. Aqui usamos que (x+2)^{2}=x^{2}+4x+4, então subtraímos 4 para recuperar x^{2}+4x.

Passo 3

Substituição simples: note que o numerador é x+2, que aparece no quadrado. Faça a substituição
u = x+2.
Então
du = dx.
Reescrevendo a integral em u, usando que x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4=u^{2}-4, obtemos
\int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x}}\,dx = \int \frac{u}{\sqrt{u^{2}-4}}\,du.

Passo 4

Aqui entra a técnica de reconhecimento de uma derivada conhecida. Vamos estudar a função
F(u)=\sqrt{u^{2}-a^{2}},\quad a>0.
Derivando F pelo teorema da cadeia:
F'(u)=\frac{1}{2}(u^{2}-a^{2})^{-1/2}\cdot 2u=\frac{u}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}.
Portanto temos a identidade útil (para u^{2}>a^{2}):
\frac{d}{du}\sqrt{u^{2}-a^{2}}=\frac{u}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}.
No nosso caso a^{2}=4, ou seja a=2. Logo
\frac{u}{\sqrt{u^{2}-4}}
é precisamente a derivada de \sqrt{u^{2}-4}. Isso significa que a integral é imediata:
\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}-4}}\,du = \sqrt{u^{2}-4}+C.
Explicando a ideia: em provas é comum reconhecer que se o numerador é a derivada do que está dentro da raiz (ou proporcional a ela), a primitiva costuma ser a própria raiz.

Passo 5

Volte à variável original x substituindo u=x+2:
\sqrt{u^{2}-4} = \sqrt{(x+2)^{2}-4} = \sqrt{x^{2}+4x}.
Portanto a primitiva encontrada é
\sqrt{x^{2}+4x}+C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para segurança): derive a resposta proposta G(x)=\sqrt{x^{2}+4x}. Usando cadeia,
G'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}+4x)^{-1/2}\cdot(2x+4)=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x}},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Passo 7

Comentário sobre domínio (importante em provas): a expressão \sqrt{x^{2}+4x} exige x^{2}+4x\ge 0, o que equivale a x\in(-\infty,-4]\cup[0,\infty). A identidade usada quando substituímos por u exige u^{2}-4>0, isto é |u|\ge 2, que corresponde a x\le -4 ou x\ge 0. Em cada intervalo a primitiva dada vale e a diferenciação verifica o integrando. Em pontos onde a raiz é zero (p.ex. x=0 ou x=-4) a derivada localmente precisa de cuidado, mas a primitiva encontrada continua válida em cada ramo do domínio.

Resposta

\sqrt{x^{2}+4x}+C

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