Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há outras partes do enunciado; portanto precisamos encontrar uma técnica apropriada e resolver a integral indefinida, retornando a primitiva mais uma constante de integração.
Passo 2
Observação útil (manobra algébrica): a expressão dentro da raiz pode ser escrita completando o quadrado. Vamos reescrever
como um quadrado menos uma constante:
Explicando a técnica: completar o quadrado consiste em transformar
numa forma
para facilitar substituições ou reconhecer derivadas. Aqui usamos que
, então subtraímos
para recuperar
.
Passo 3
Substituição simples: note que o numerador é
, que aparece no quadrado. Faça a substituição
Então
Reescrevendo a integral em
, usando que
, obtemos
Passo 4
Aqui entra a técnica de reconhecimento de uma derivada conhecida. Vamos estudar a função
Derivando
pelo teorema da cadeia:
Portanto temos a identidade útil (para
):
No nosso caso
, ou seja
. Logo
é precisamente a derivada de
. Isso significa que a integral é imediata:
Explicando a ideia: em provas é comum reconhecer que se o numerador é a derivada do que está dentro da raiz (ou proporcional a ela), a primitiva costuma ser a própria raiz.
Passo 5
Volte à variável original
substituindo
:
Portanto a primitiva encontrada é
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (para segurança): derive a resposta proposta
. Usando cadeia,
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.
Passo 7
Comentário sobre domínio (importante em provas): a expressão
exige
, o que equivale a
. A identidade usada quando substituímos por
exige
, isto é
, que corresponde a
ou
. Em cada intervalo a primitiva dada vale e a diferenciação verifica o integrando. Em pontos onde a raiz é zero (p.ex.
ou
) a derivada localmente precisa de cuidado, mas a primitiva encontrada continua válida em cada ramo do domínio.