Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
17.
17.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
o integrando é
;\n
o intervalo de integração é
;\n
note que o integrando fica indefinido em
, e como
isso torna a integral imprópria (tem uma descontinuidade dentro do intervalo).
Passo 2
Como há uma descontinuidade em
dentro do intervalo, devemos interpretar a integral como integral imprópria e separá‑la em duas integrais de uma só via, avaliadas como limites unilaterais:
Para que a integral original converja, ambas as limites acima devem existir e ser finitos. Se qualquer uma divergir, a integral imprópria diverge.
Passo 3
Precisamos de uma primitiva de
. Reescrevemos o integrando como
. Usamos a regra de potência para integrais: para
,
Aplicando com
e
, obtemos
É bom checar: derivando
dá
, logo está correto.
Passo 4
Calculamos a integral da esquerda como limite:
Agora simplificamos
, então a expressão é
Quando
, temos
(um número negativo pequeno), portanto
e assim
. Logo a expressão tende a
. Assim a integral do lado esquerdo diverge para
.
Passo 5
Calculamos a integral da direita como limite:
Aqui
, então a expressão é
Quando
, temos
(um número positivo pequeno), então
. Portanto esse limite também tende a
. A integral do lado direito diverge para
.
Passo 6
Como pelo menos uma (na verdade ambas) das integrais unilaterais divergem (tendem a
), a integral imprópria original não converge. Concluímos que
é divergente — o valor “é infinito” no sentido de que a integral tende a
.
Resposta
Diverge (tende a
).