Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
17. \int_{1}^{5} \frac{d t}{(t-4)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int_{1}^{5}\frac{dt}{(t-4)^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\,1 o integrando é \frac{1}{(t-4)^{2}};\n
\,2 o intervalo de integração é [1,5];\n
\,3 note que o integrando fica indefinido em t=4, e como 4\in[1,5] isso torna a integral imprópria (tem uma descontinuidade dentro do intervalo).

Passo 2

Como há uma descontinuidade em t=4 dentro do intervalo, devemos interpretar a integral como integral imprópria e separá‑la em duas integrais de uma só via, avaliadas como limites unilaterais:
\int_{1}^{5}\frac{dt}{(t-4)^{2}} =\lim_{b\to4^-}\int_{1}^{b}\frac{dt}{(t-4)^{2}} +\lim_{a\to4^+}\int_{a}^{5}\frac{dt}{(t-4)^{2}}.
Para que a integral original converja, ambas as limites acima devem existir e ser finitos. Se qualquer uma divergir, a integral imprópria diverge.

Passo 3

Precisamos de uma primitiva de \frac{1}{(t-4)^{2}}. Reescrevemos o integrando como (t-4)^{-2}. Usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com x=t-4 e n=-2, obtemos
\int (t-4)^{-2}\,dt= \frac{(t-4)^{-1}}{-1}+C = -\frac{1}{t-4}+C.
É bom checar: derivando -\frac{1}{t-4} \frac{1}{(t-4)^{2}}, logo está correto.

Passo 4

Calculamos a integral da esquerda como limite:
\lim_{b\to4^-}\int_{1}^{b}\frac{dt}{(t-4)^{2}} =\lim_{b\to4^-}\left[-\frac{1}{t-4}\right]_{t=1}^{t=b} =\lim_{b\to4^-}\left(-\frac{1}{b-4}+\frac{1}{1-4}\right).
Agora simplificamos \frac{1}{1-4}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}, então a expressão é
\lim_{b\to4^-}\left(-\frac{1}{b-4}-\frac{1}{3}\right).
Quando b\to4^-, temos b-4\to 0^- (um número negativo pequeno), portanto \frac{1}{b-4}\to -\infty e assim -\frac{1}{b-4}\to +\infty. Logo a expressão tende a +\infty. Assim a integral do lado esquerdo diverge para +\infty.

Passo 5

Calculamos a integral da direita como limite:
\lim_{a\to4^+}\int_{a}^{5}\frac{dt}{(t-4)^{2}} =\lim_{a\to4^+}\left[-\frac{1}{t-4}\right]_{t=a}^{t=5} =\lim_{a\to4^+}\left(-\frac{1}{5-4}+\frac{1}{a-4}\right).
Aqui -\frac{1}{5-4}=-1, então a expressão é
\lim_{a\to4^+}\left(-1+\frac{1}{a-4}\right).
Quando a\to4^+, temos a-4\to 0^+ (um número positivo pequeno), então \frac{1}{a-4}\to +\infty. Portanto esse limite também tende a +\infty. A integral do lado direito diverge para +\infty.

Passo 6

Como pelo menos uma (na verdade ambas) das integrais unilaterais divergem (tendem a +\infty), a integral imprópria original não converge. Concluímos que
\int_{1}^{5}\frac{dt}{(t-4)^{2}}
é divergente — o valor “é infinito” no sentido de que a integral tende a +\infty.

Resposta

Diverge (tende a +\infty).

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