Calcule as seguintes integrais:
\iiint_{E} y d x d y d z, onde E é a região entre os cilindros x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=1, limitada pelo plano xy e pelo plano z=x+2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} y \,dx\,dy\,dz,
onde E é a região descrita por
  1. 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4,
  2. 0 \le z \le x+2.
    O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas e cálculo de integrais iteradas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com r\in[1,2], \theta\in[0,2\pi] e z\in[0,\,r\cos\theta+2]. O elemento de volume é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

A integranda y vira r\sin\theta. Logo a integral fica
\iiint_{E} y\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=1}^{2}\!\int_{z=0}^{r\cos\theta+2} (r\sin\theta)\,(r\,dz\,dr\,d\theta).

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{r\cos\theta+2} r^{2}\sin\theta\,dz = r^{2}\sin\theta\,(r\cos\theta+2).
Então
\iiint_{E} y\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2} r^{2}\sin\theta\,(r\cos\theta+2)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Expandindo em r:
r^{2}(r\cos\theta+2) = r^{3}\cos\theta + 2r^{2}.
Logo
\iiint_{E} y\,dV = \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\cos\theta \Bigl(\int_{1}^{2}r^{3}dr\Bigr)d\theta + 2\int_{0}^{2\pi}\sin\theta \Bigl(\int_{1}^{2}r^{2}dr\Bigr)d\theta.
Calculamos
\int_{1}^{2}r^{3}dr = \frac{2^{4}-1^{4}}{4}=\frac{15}{4}, \quad \int_{1}^{2}r^{2}dr = \frac{2^{3}-1^{3}}{3}=\frac{7}{3}.

Passo 6

As integrais em \theta são
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta = 0, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0.
Portanto cada termo se anula.

Resposta

0

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