Esboce a curva e calcule a área da região indicada:
a região limitada por um laço da rosácea r=\cos 3 \theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a rosa dada em coordenadas polares por
r = \cos(3\theta)
e calcular a área de um laço (uma pétala). O conteúdo envolvido é curvas em coordenadas polares e a fórmula da área em polares, que é
A = \frac12 \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta.

Passo 2

Para esboçar a rosa, notamos que as raízes de r ocorrem quando \cos(3\theta)=0, isto é
3\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3},\;k\in\mathbb{Z}.
Entre duas raízes consecutivas — por exemplo, de \theta=-\tfrac{\pi}{6} a \theta=\tfrac{\pi}{6} — temos \cos(3\theta)\ge0 e descrevemos uma pétala de comprimento máximo r=1 em \theta=0. Há três pétalas centradas em \theta=0,\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{4\pi}{3}.

Passo 3

A área de uma pétala é
A = \frac12 \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \bigl(\cos(3\theta)\bigr)^2\,d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade
\cos^2(3\theta) = \frac{1 + \cos(6\theta)}{2}.
Então
\int \cos^2(3\theta)\,d\theta = \int \frac{1+\cos(6\theta)}{2}\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(6\theta)}{12} + C.
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A = \frac12 \Biggl[\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(6\theta)}{12}\Biggr]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} = \frac12 \Bigl(\frac{\pi/6 - (-\pi/6)}{2}\Bigr) = \frac12 \cdot \frac{\pi/3}{2} = \frac{\pi}{12}.

Resposta

A área de um laço da rosácea r=\cos(3\theta) é \displaystyle \frac{\pi}{12}.

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