Calcule as seguintes integrais impróprias:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{d x d y}{\sqrt{x y}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{dx\,dy}{\sqrt{x\,y}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O domínio de integração é o quadrado (0,1)\times(0,1).
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{x\,y}}=(x\,y)^{-1/2}.
  • Há singularidade (comportamento impróprio) nas bordas x=0 e y=0, pois (x\,y)^{-1/2} tende a infinito quando x\to0^+ ou y\to0^+.
    A pergunta é se a integral converge e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática).
  • O integrando é positivo em todo o domínio (exceto na singularidade), portanto é uma função não-negativa. Para integrais não-negativas definidas em produtos de conjuntos, vale o teorema de Tonelli que permite trocar a ordem de integração e também escrever a integral dupla como integral iterada ou como produto de integrais, quando o integrando é produto de fatores que dependem separadamente de x e y.
  • Observação simples e útil: a função é separável, pois
\frac{1}{\sqrt{x\,y}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}.
Isso sugere calcular as integrais iteradas e/ou fatorizar como produto de duas integrais unidimensionais.
Vou então escrever a integral dupla como produto de duas integrais simples (justificado por Tonelli, já que o integrando é não-negativo).

Passo 3

Escrever a integral dupla como produto de integrais simples.
Pelo argumento acima,
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{dx\,dy}{\sqrt{x\,y}} = \left(\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}\right)\left(\int_{0}^{1}\frac{dy}{\sqrt{y}}\right).
Aqui cada integral unidimensional é imprópria na extremidade 0; vou tratar cada uma como limite e calculá-las.

Passo 4

Cálculo da integral unidimensional \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}.
  • Primeiro lembrar a primitiva: para \alpha\neq 1,
\int x^{\alpha-1}\,dx = \frac{x^{\alpha}}{\alpha}+C.
No nosso caso \dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}=x^{\alpha-1} com \alpha=\tfrac{1}{2}. Assim uma primitiva é
\int x^{-1/2}\,dx = 2x^{1/2}+C.
  • Como a integral é imprópria em 0, a definimos por limite:
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{1}x^{-1/2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl[2x^{1/2}\bigr]_{\varepsilon}^{1}.
  • Avaliando:
\bigl[2x^{1/2}\bigr]_{\varepsilon}^{1}=2\cdot 1^{1/2}-2\varepsilon^{1/2}=2-2\sqrt{\varepsilon}.
Tomando \varepsilon\to0^+ obtemos
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}=2.
Comentário didático: a integral converge porque o expoente de x perto de zero é -\tfrac{1}{2}, e em geral \int_{0}^{1}x^{-p}\,dx converge se e somente se p<1. Aqui p=\tfrac{1}{2}<1.

Passo 5

Cálculo da outra integral \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{dy}{\sqrt{y}}.
Pela simetria do problema (mesma expressão em y), o cálculo é idêntico ao do passo anterior, logo
\int_{0}^{1}\frac{dy}{\sqrt{y}}=2.

Passo 6

Multiplicando os resultados (produtos das integrais simples) para obter a integral dupla.
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{dx\,dy}{\sqrt{x\,y}} = \left(\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}\right)\left(\int_{0}^{1}\frac{dy}{\sqrt{y}}\right) = 2\cdot 2 = 4.
Portanto a integral imprópria converge e seu valor é 4.

Resposta

4

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