Calcule as seguintes integrais impróprias:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{d x d y}{\sqrt{x y}}
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{d x d y}{\sqrt{x y}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria dupla
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O domínio de integração é o quadrado
. - O integrando é
. - Há singularidade (comportamento impróprio) nas bordas
e , pois tende a infinito quando ou .
A pergunta é se a integral converge e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática).
- O integrando é positivo em todo o domínio (exceto na singularidade), portanto é uma função não-negativa. Para integrais não-negativas definidas em produtos de conjuntos, vale o teorema de Tonelli que permite trocar a ordem de integração e também escrever a integral dupla como integral iterada ou como produto de integrais, quando o integrando é produto de fatores que dependem separadamente de
e . - Observação simples e útil: a função é separável, pois
Isso sugere calcular as integrais iteradas e/ou fatorizar como produto de duas integrais unidimensionais.
Vou então escrever a integral dupla como produto de duas integrais simples (justificado por Tonelli, já que o integrando é não-negativo).
Vou então escrever a integral dupla como produto de duas integrais simples (justificado por Tonelli, já que o integrando é não-negativo).
Passo 3
Escrever a integral dupla como produto de integrais simples.
Pelo argumento acima,
Pelo argumento acima,
Aqui cada integral unidimensional é imprópria na extremidade
; vou tratar cada uma como limite e calculá-las.
Passo 4
Cálculo da integral unidimensional
.
- Primeiro lembrar a primitiva: para
,
No nosso caso
com
. Assim uma primitiva é
- Como a integral é imprópria em
, a definimos por limite:
- Avaliando:
Tomando
obtemos
Comentário didático: a integral converge porque o expoente de
perto de zero é
, e em geral
converge se e somente se
. Aqui
.
Passo 5
Cálculo da outra integral
.
Pela simetria do problema (mesma expressão em ), o cálculo é idêntico ao do passo anterior, logo
Pela simetria do problema (mesma expressão em
Passo 6
Multiplicando os resultados (produtos das integrais simples) para obter a integral dupla.
Portanto a integral imprópria converge e seu valor é
.