A função integranda é \left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{-1}.
A região de integração é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\geq 1\}, ou seja, o exterior do disco unitário (região não limitada, estende-se até o infinito).
A integranda é positiva em toda a região (isto é útil para testes de convergência e para trocar a ordem de integração se necessário).
O objetivo é determinar o valor da integral (ou mostrar que ela diverge).
Passo 2
Por que usar coordenadas polares (explicação didática): a região de integração e a integranda são radiais (dependem de x^{2}+y^{2}), então em coordenadas polares a expressão fica mais simples. As coordenadas polares são definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\geq 0 é a distância ao origem e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo. Ao passar para coordenadas polares é preciso considerar o fator de escala (Jacobiano): a área elementar transforma-se como
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Aqui cada símbolo significa:
r é a coordenada radial (distância do ponto (x,y) à origem);
\theta é o ângulo polar;
dr\,d\theta são os elementos diferenciais em polares;
o fator r surge do determinante da transformação.
Também é preciso traduzir a região: a condição x^{2}+y^{2}\geq 1 vira r^{2}\geq 1, ou seja r\geq 1. O ângulo \theta percorre todo o círculo, portanto \theta\in[0,2\pi].
Passo 3
Reescrevendo a integral em coordenadas polares: substituir x^{2}+y^{2}=r^{2}, \left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{-1}=(1+r^{2})^{-1} e dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Assim a integral fica
A integral \displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{1}{u}\,du é a integral do tipo \int_{2}^{\infty}\frac{1}{u}\,du=\lim_{M\to\infty}\ln u\big|_{2}^{M}=\lim_{M\to\infty}(\ln M-\ln 2), que diverge (vai para +\infty). Portanto
Concluindo a integral dupla: a integral em \theta é o fator finito \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. Multiplicando por uma integral radial que diverge para +\infty obtém-se que a integral dupla diverge:
e \int_{1}^{\infty}\frac{1}{r}\,dr diverge (comportamento logarítmico). Se a integranda ao infinito caísse mais rapidamente, por exemplo como 1/r^{p} com p>1 no integrando radial efetivo, poderia convergir; aqui o decaimento é exatamente 1/r e por isso diverge. Forneço esse teste porque é um jeito rápido de decidir convergência de integrais em coordenadas polares na prova.