Calcule as seguintes integrais impróprias:
\iint_{x{2}+y{2}
\geq 1}\left(1+x{2}+y{2}\right)^{-1} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla imprópria
\iint_{x^{2}+y^{2}\geq 1}\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{-1} dx\,dy.
Informações e observações dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é \left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{-1}.
  • A região de integração é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\geq 1\}, ou seja, o exterior do disco unitário (região não limitada, estende-se até o infinito).
  • A integranda é positiva em toda a região (isto é útil para testes de convergência e para trocar a ordem de integração se necessário).
  • O objetivo é determinar o valor da integral (ou mostrar que ela diverge).

Passo 2

Por que usar coordenadas polares (explicação didática): a região de integração e a integranda são radiais (dependem de x^{2}+y^{2}), então em coordenadas polares a expressão fica mais simples. As coordenadas polares são definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\geq 0 é a distância ao origem e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo. Ao passar para coordenadas polares é preciso considerar o fator de escala (Jacobiano): a área elementar transforma-se como
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Aqui cada símbolo significa:
  • r é a coordenada radial (distância do ponto (x,y) à origem);
  • \theta é o ângulo polar;
  • dr\,d\theta são os elementos diferenciais em polares;
  • o fator r surge do determinante da transformação.
Também é preciso traduzir a região: a condição x^{2}+y^{2}\geq 1 vira r^{2}\geq 1, ou seja r\geq 1. O ângulo \theta percorre todo o círculo, portanto \theta\in[0,2\pi].

Passo 3

Reescrevendo a integral em coordenadas polares: substituir x^{2}+y^{2}=r^{2}, \left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{-1}=(1+r^{2})^{-1} e dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Assim a integral fica
\iint_{x^{2}+y^{2}\geq 1}\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{\infty}\frac{1}{1+r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.
Como o integrando separado em \theta não depende de \theta, pode-se escrever
\int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{1}^{\infty}\frac{r}{1+r^{2}}\,dr.

Passo 4

Calcular a integral radial \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{r}{1+r^{2}}\,dr.
Fazer a substituição simples (método padrão para integrais do tipo r/(1+r^{2})):
u = 1+r^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr = \frac{1}{2}\,du.
Os limites quando r=1 dão u=1+1^{2}=2; quando r\to\infty temos u\to\infty. Então
\int_{1}^{\infty}\frac{r}{1+r^{2}}\,dr = \int_{u=2}^{\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\int_{2}^{\infty}\frac{1}{u}\,du.
A integral \displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{1}{u}\,du é a integral do tipo \int_{2}^{\infty}\frac{1}{u}\,du=\lim_{M\to\infty}\ln u\big|_{2}^{M}=\lim_{M\to\infty}(\ln M-\ln 2), que diverge (vai para +\infty). Portanto
\int_{1}^{\infty}\frac{r}{1+r^{2}}\,dr = \frac{1}{2}\lim_{M\to\infty}(\ln M-\ln 2)=+\infty.

Passo 5

Concluindo a integral dupla: a integral em \theta é o fator finito \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. Multiplicando por uma integral radial que diverge para +\infty obtém-se que a integral dupla diverge:
\iint_{x^{2}+y^{2}\geq 1}\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy = 2\pi\cdot\left(\int_{1}^{\infty}\frac{r}{1+r^{2}}\,dr\right) = 2\pi\cdot(+\infty)=+\infty.
Comentário didático rápido (intuição): para r grande a integranda efetiva (já incluindo o Jacobiano) se comporta como
\frac{r}{1+r^{2}}\sim \frac{r}{r^{2}}=\frac{1}{r},
e \int_{1}^{\infty}\frac{1}{r}\,dr diverge (comportamento logarítmico). Se a integranda ao infinito caísse mais rapidamente, por exemplo como 1/r^{p} com p>1 no integrando radial efetivo, poderia convergir; aqui o decaimento é exatamente 1/r e por isso diverge. Forneço esse teste porque é um jeito rápido de decidir convergência de integrais em coordenadas polares na prova.

Resposta

+\infty

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