Calcule as seguintes integrais impróprias:
\int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty} x^{2}
\cdot e{-x{2}-y^{2}} d x d y
\int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty} x^{2}
\cdot e{-x{2}-y^{2}} d x d y
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral imprópria dupla
Informações dadas:
- Os limites de integração para
e são ambos de a . - A função integranda é
.
O que se quer: o valor numérico da integral dupla acima.
Passo 2
Primeira ideia útil (e importante): a integranda
é não-negativa para todo
. Como é uma função não-negativa, podemos aplicar o Teorema de Tonelli (ou Fubini para funções positivas) para trocar ordens ou separar integrais. Assim a integral dupla é igual ao produto das integrais simples sobre
e sobre
:
Explicando: porque
e a integral dupla de uma função positiva separável f(x)g(y) se factoriza no produto das integrais.
Passo 3
Vamos calcular a integral em
:
Conhecemos o valor clássico da integral gaussiana completa
Mostrarei como obter
rapidamente: considere
:
Agora trocamos para coordenadas polares:
e
. O domínio
vira
. Assim
Calcule a integral em
por substituição
:
Logo
portanto
(escolhemos a raiz positiva porque a integral é positiva). Como
é a meia integral (somente de
a
), temos
Passo 4
Agora calculamos a integral em
:
Uma forma direta é fazer a substituição
. Então
, daí
. Observando que
e que
, obtemos
Os limites
correspondem a
. Assim
A integral
é a definição da função Gamma em
:
Usando a relação recursiva da função Gamma
e o valor
, temos
Portanto
Observação alternativa (sem mencionar Gamma): podia-se também calcular
por integração por partes, tomando
,
; o resultado é o mesmo
.
Passo 5
Multiplicando os dois resultados obtidos: