Calcule as seguintes integrais impróprias.
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Informações dadas:
\displaystyle \frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}} é a função integrando, o intervalo de integração é simétrico em torno de 0 (vai de -\infty a \infty) e a integral é imprópria por envolver limites infinitos. Não há singularidade no integrando para x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Verificamos a paridade da função porque integrais em intervalos simétricos ficam muito mais simples nesse caso. Definição rápida e prática:
uma função f é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x.
Calculemos f(-x) para f(x)=\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}:
f(-x)=\frac{2(-x)}{((-x)^{2}+1)^{2}}=\frac{-2x}{(x^{2}+1)^{2}}=-f(x).
Portanto f é ímpar. Uma consequência útil (que usaremos) é: se f é ímpar e a integral impropria \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx converge, então o valor da integral é 0, porque as contribuições de x>0 e x<0 se cancelam.

Passo 3

Para ter certeza do valor e justificar a convergência, encontramos uma primitiva explícita. Note a função
g(x)=\frac{1}{x^{2}+1}.
Derivando g usando a regra da cadeia (derivada de (x^{2}+1)^{-1}): primeiro multiplicamos pelo expoente -1 e depois derivamos x^{2}+1, obtemos
g'(x) = -1\cdot (x^{2}+1)^{-2}\cdot 2x = -\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Logo
\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}} = -g'(x).
Portanto uma primitiva de \dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}} é
G(x) = -\frac{1}{x^{2}+1} + C,
pois G'(x) = -g'(x) = \dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Usamos a primitiva para calcular a integral no sentido improprio, integrando simetricamente de -R a R e fazendo R\to\infty:
\int_{-R}^{R} \frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x^{2}+1}\right]_{x=-R}^{x=R} = -\frac{1}{R^{2}+1} -\Big(-\frac{1}{R^{2}+1}\Big) =0.
Fazendo R\to\infty mantemos 0. Assim o valor da integral é 0, desde que a integral impropria converja (verificação a seguir).

Passo 5

Justificativa da convergência (para ficar seguro na prova): para |x|\ge 1 temos x^{2}+1 \ge x^{2}, então
\left|\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\right| \le \frac{2|x|}{x^{4}}=\frac{2}{|x|^{3}}.
Sabemos que \int_{1}^{\infty} \dfrac{2}{x^{3}}\,dx converge (é uma integral p com p=3>1). No intervalo [-1,1] a função é contínua (logo integrável). Portanto a integral impropria converge absolutamente; como consequência, a simetria ímpar permite concluir que a integral sobre (-\infty,\infty) é realmente 0.

Passo 6

Resumo amigável: a função é ímpar e integrável no sentido improprio (até absolutamente integrável), portanto as partes positiva e negativa se cancelam exatamente, resultando em zero. Boa! Isso costuma cair bastante em prova — reconhecer a paridade e achar uma primitiva curta resolve rápido.

Resposta

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