Informações dadas: \displaystyle \frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}} é a função integrando, o intervalo de integração é simétrico em torno de 0 (vai de -\infty a \infty) e a integral é imprópria por envolver limites infinitos. Não há singularidade no integrando para x\in\mathbb{R}.
Passo 2
Verificamos a paridade da função porque integrais em intervalos simétricos ficam muito mais simples nesse caso. Definição rápida e prática:
uma função f é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x.
Calculemos f(-x) para f(x)=\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}:
Portanto f é ímpar. Uma consequência útil (que usaremos) é: se f é ímpar e a integral impropria \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx converge, então o valor da integral é 0, porque as contribuições de x>0 e x<0 se cancelam.
Passo 3
Para ter certeza do valor e justificar a convergência, encontramos uma primitiva explícita. Note a função
g(x)=\frac{1}{x^{2}+1}.
Derivando g usando a regra da cadeia (derivada de (x^{2}+1)^{-1}): primeiro multiplicamos pelo expoente -1 e depois derivamos x^{2}+1, obtemos
Sabemos que \int_{1}^{\infty} \dfrac{2}{x^{3}}\,dx converge (é uma integral p com p=3>1). No intervalo [-1,1] a função é contínua (logo integrável). Portanto a integral impropria converge absolutamente; como consequência, a simetria ímpar permite concluir que a integral sobre (-\infty,\infty) é realmente 0.
Passo 6
Resumo amigável: a função é ímpar e integrável no sentido improprio (até absolutamente integrável), portanto as partes positiva e negativa se cancelam exatamente, resultando em zero. Boa! Isso costuma cair bastante em prova — reconhecer a paridade e achar uma primitiva curta resolve rápido.