Calcule as seguintes integrais impróprias.
\int_{0}^{\infty} \frac{[\arctan (x)]^{2}}{1+x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral imprópria
I=\int_{0}^{\infty}\frac{[\arctan(x)]^{2}}{1+x^{2}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O intervalo de integração é [0,\infty), portanto é uma integral imprópria por causa do limite superior infinito.
  • A função integranda é \dfrac{[\arctan(x)]^{2}}{1+x^{2}}.
  • Sabemos que \arctan(x) é uma função bem comportada em [0,\infty) e que \lim_{x\to\infty}\arctan(x)=\dfrac{\pi}{2}.
  • A integral será avaliada como um limite se necessário (por exemplo, integrar de 0 a b e depois fazer b\to\infty).

Passo 2

Vamos usar a técnica de substituição em integrais (mudar a variável) — eu explico rápido o porquê: se escolhermos uma nova variável u=g(x) que torne a integral mais simples, usamos que du=g'(x)\,dx para reescrever toda a integrandae dx em termos de u e du. Isso é válido também para integrais impróprias, desde que a transformação seja bijetora no intervalo considerado e ajustemos os limites de integração seguindo a imagem dos pontos pelo g.
Aqui uma escolha natural é a que transforma \arctan(x) em algo linear. Definimos
u=\arctan(x).
Agora calculemos du. Como \dfrac{d}{dx}\arctan(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}, temos
du=\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Perceba que o fator \dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx aparece exatamente na integranda original — por isso essa substituição é ótima.

Passo 3

Transformamos também os limites de integração usando u=\arctan(x):
  • Quando x=0, temos u=\arctan(0)=0.
  • Quando x\to\infty, temos u=\arctan(x)\to \dfrac{\pi}{2}.
Portanto a integral em x de 0 a \infty transforma-se numa integral em u de 0 a \dfrac{\pi}{2}. Substituindo u e du na integral,
I=\int_{0}^{\infty}\frac{[\arctan(x)]^{2}}{1+x^{2}}\,dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} u^{2}\,du.
Esse passo simplificou bastante: virou uma integral polinomial comum e própria (limites finitos).

Passo 4

Agora calculemos a integral de u^{2}. A primitiva de u^{2} é \dfrac{u^{3}}{3}, porque ao derivar \dfrac{u^{3}}{3} obtemos u^{2}. Então
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{3} - \frac{1}{3}\cdot 0^{3}.
Façamos a conta final: \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{3}=\dfrac{\pi^{3}}{8}. Dividindo por 3 obtemos
I=\frac{\pi^{3}}{8\cdot 3}=\frac{\pi^{3}}{24}.

Passo 5

Checagem rápida e motivação para lembrar na prova: sempre que vir \dfrac{f(\arctan x)}{1+x^{2}} ou, de modo geral, \dfrac{f(g(x))\,g'(x)}{} dentro da integral, pense em u=g(x). Por exemplo,
\int_{0}^{\infty}\frac{\arctan(x)}{1+x^{2}}\,dx
viraria \int_{0}^{\pi/2} u\,du = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2}=\dfrac{\pi^{2}}{8}. É a mesma ideia, só com um poder diferente de u.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{3}}{24}

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