Calcule as seguintes integrais impróprias.
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral imprópria
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O intervalo de integração é
, portanto é uma integral imprópria por causa do limite superior infinito. - A função integranda é
. - Sabemos que
é uma função bem comportada em e que . - A integral será avaliada como um limite se necessário (por exemplo, integrar de
a e depois fazer ).
Passo 2
Vamos usar a técnica de substituição em integrais (mudar a variável) — eu explico rápido o porquê: se escolhermos uma nova variável
que torne a integral mais simples, usamos que
para reescrever toda a integrandae
em termos de
e
. Isso é válido também para integrais impróprias, desde que a transformação seja bijetora no intervalo considerado e ajustemos os limites de integração seguindo a imagem dos pontos pelo
.
Aqui uma escolha natural é a que transforma
em algo linear. Definimos
Agora calculemos
. Como
, temos
Perceba que o fator
aparece exatamente na integranda original — por isso essa substituição é ótima.
Passo 3
Transformamos também os limites de integração usando
:
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
Portanto a integral em
de
a
transforma-se numa integral em
de
a
. Substituindo
e
na integral,
Esse passo simplificou bastante: virou uma integral polinomial comum e própria (limites finitos).
Passo 4
Agora calculemos a integral de
. A primitiva de
é
, porque ao derivar
obtemos
. Então
Façamos a conta final:
. Dividindo por
obtemos
Passo 5
Checagem rápida e motivação para lembrar na prova: sempre que vir
ou, de modo geral,
dentro da integral, pense em
. Por exemplo,
viraria
. É a mesma ideia, só com um poder diferente de
.