Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Não foi indicado intervalo, portanto buscamos uma antiderivada válida em cada intervalo onde a função está definida (ou seja, para
).
O que devemos obter: uma fórmula para a família de primitivais (antiderivadas) da função, com a constante de integração.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: a regra da potência para integrais. Ela diz que, para um número real
com
,
onde:
-
é a variável de integração; -
é o expoente; -
é a constante de integração (porque integrais indefinidas têm uma família de primitivais).
Explicação rápida por que a fórmula vale: derivando o lado direito com a regra da potência das derivadas obtém-se, então é de fato uma primitiva.
Passo 3
Reescrevo o integrando como potência:
Aqui
, que satisfaz
, portanto a regra da potência se aplica. Substituindo
na fórmula,
Passo 4
Simplificando
obtemos
Portanto uma primitiva é
. Lembrando que a função original e sua primitiva estão definidas apenas para
; em termos de antiderivadas, pode-se considerar constantes diferentes nas duas componentes do domínio (
e
), mas a forma funcional é a mesma.
Passo 5
Verificação rápida: derivando a primitiva encontrada para checar,
que é exatamente o integrando. Pronto: está confirmado.
Passo 6
Observação útil para a prova (motivação leve): quando o expoente for
a regra da potência não vale e a primitiva é diferente:
. No nosso caso o expoente foi
, então usamos a regra da potência normalmente.