Deseja-se cercar um terreno retangular de área 60 \mathrm{~m}^{2}, de modo que o custo para cercar as laterais seja \mathrm{R} \ 300,00 por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de\mathrm{R} $500,00$ por metro linear. Determine as dimensões do terreno de modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. Neste caso, qual o custo mínimo?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as dimensões do terreno retangular (comprimento da frente/fundo e comprimento das laterais) que minimizam o custo total da cerca.
  • Calcular o custo mínimo correspondente.
Informações dadas:
  • A área do terreno é \,60\\ \mathrm{m}^2.
  • O custo por metro linear da frente e do fundo é \text{R\$ }500,00 (cada um).
  • O custo por metro linear das duas laterais é \text{R\$ }300,00 (cada uma).
Dados que vou usar (peguei estes números do enunciado):
  • Área: \,A=60.
  • Preço frente/fundo: \text{R\$ }500,00/\mathrm{m}.
  • Preço laterais: \text{R\$ }300,00/\mathrm{m}.

Passo 2

Escolha de variáveis e expressão do custo:
  • Seja \,x a largura do terreno (medida da frente e do fundo), em metros.
  • Seja \,y o comprimento das laterais, em metros.
Explico por que escolhi essas variáveis: a frente e o fundo têm a mesma medida (ambos são x) e as duas laterais têm a mesma medida (ambas são y). A área satisfaz a restrição
x y = 60.
Agora vamos montar a expressão do custo total C. O custo vem de quatro lados:
  • Frente: comprimento x a \text{R\$ }500,00/\mathrm{m} → custo 500x.
  • Fundo: idem → custo 500x.
  • Duas laterais: cada uma tem comprimento y a \text{R\$ }300,00/\mathrm{m} → custo total das laterais 2\cdot 300\cdot y.
Somando:
C(x,y)=500x+500x+2\cdot300\cdot y.
Simplificando os coeficientes:
C(x,y)=1000x+600y.

Passo 3

Reduzir para uma variável usando a restrição da área:
Da restrição \,x y = 60 temos
y=\frac{60}{x},
válida para \,x>0. Substituindo em C(x,y) obtemos uma função de uma variável:
C(x)=1000x+600\cdot\frac{60}{x}.
Multiplicando o segundo termo:
C(x)=1000x+\frac{36000}{x}.
Domínio relevante: \,x>0, porque medidas negativas não fazem sentido.

Passo 4

Método para encontrar mínimo (ideia didática):
Vou usar cálculo de derivadas. A ideia é que um mínimo interno de uma função diferenciável em um intervalo aberto ocorre em pontos críticos onde a derivada é zero; depois verificamos que esse ponto é realmente mínimo (segunda derivada positiva ou análise de sinais). Isso é um método padrão e direto que dá resposta rápida na prova.
Calcule a derivada de C(x). Em termos simples:
  • A derivada de 1000x em relação a x é 1000.
  • A derivada de \dfrac{36000}{x} é -36000/x^{2} (regra da potência: x^{-1} deriva para -1\cdot x^{-2}).
Portanto,
C'(x)=1000-\frac{36000}{x^{2}}.

Passo 5

Encontrar ponto crítico resolvendo C'(x)=0:
1000-\frac{36000}{x^{2}}=0.
Isolando o termo com x^{2}:
1000=\frac{36000}{x^{2}}.
Invertendo ambos os lados (ou multiplicando por x^{2} e dividindo por 1000):
x^{2}=\frac{36000}{1000}=36.
Como x>0, temos
x=\sqrt{36}=6\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Determinar y a partir da área:
Usando \,y=\dfrac{60}{x} e substituindo x=6:
y=\frac{60}{6}=10\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida e intuitiva: as partes mais caras da cerca (frente e fundo, R$500/m) ficaram com comprimento menor ( 6\\ \mathrm{m}), enquanto as laterais (R$300/m) ficaram maiores ( 10\\ \mathrm{m}). Faz sentido: para minimizar custo faz sentido reduzir o comprimento das partes mais caras.

Passo 7

Verificação de mínimo (segunda derivada):
Calcule C''(x). Derivando C'(x)=1000-36000/x^{2}:
C''(x)=\frac{72000}{x^{3}}.
Para x>0 temos C''(x)>0, logo a função é convexa e o ponto crítico encontrado é de fato um mínimo. Em particular, em x=6 temos C''(6)>0, confirmando mínimo.

Passo 8

Calcular o custo mínimo correspondente:
Substituindo x=6 e y=10 em C(x,y)=1000x+600y:
C_{\min}=1000\cdot 6 + 600\cdot 10.
Calcule cada termo:
1000\cdot 6 = 6000, \qquad 600\cdot 10 = 6000.
Somando:
C_{\min}=6000+6000=12000.
Escrevendo em reais com centavos:
C_{\min}=\text{R\$ }12\,000,00.

Resposta

Frente e fundo: 6\\ \mathrm{m}
Laterais: 10\\ \mathrm{m}
Custo mínimo: \text{R\$ }12\,000,00

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