Deseja-se cercar um terreno retangular de área
, de modo que o custo para cercar as laterais seja
300,00
\mathrm{R} $500,00$ por metro linear. Determine as dimensões do terreno de modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. Neste caso, qual o custo mínimo?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar as dimensões do terreno retangular (comprimento da frente/fundo e comprimento das laterais) que minimizam o custo total da cerca.
- Calcular o custo mínimo correspondente.
Informações dadas:
- A área do terreno é
. - O custo por metro linear da frente e do fundo é
(cada um). - O custo por metro linear das duas laterais é
(cada uma).
Dados que vou usar (peguei estes números do enunciado):
- Área:
. - Preço frente/fundo:
. - Preço laterais:
.
Passo 2
Escolha de variáveis e expressão do custo:
- Seja
a largura do terreno (medida da frente e do fundo), em metros. - Seja
o comprimento das laterais, em metros.
Explico por que escolhi essas variáveis: a frente e o fundo têm a mesma medida (ambos são
) e as duas laterais têm a mesma medida (ambas são
). A área satisfaz a restrição
Agora vamos montar a expressão do custo total
. O custo vem de quatro lados:
- Frente: comprimento
a → custo . - Fundo: idem → custo
. - Duas laterais: cada uma tem comprimento
a → custo total das laterais .
Somando:
Simplificando os coeficientes:
Passo 3
Reduzir para uma variável usando a restrição da área:
Da restrição temos
Da restrição
válida para
. Substituindo em
obtemos uma função de uma variável:
Multiplicando o segundo termo:
Domínio relevante:
, porque medidas negativas não fazem sentido.
Passo 4
Método para encontrar mínimo (ideia didática):
Vou usar cálculo de derivadas. A ideia é que um mínimo interno de uma função diferenciável em um intervalo aberto ocorre em pontos críticos onde a derivada é zero; depois verificamos que esse ponto é realmente mínimo (segunda derivada positiva ou análise de sinais). Isso é um método padrão e direto que dá resposta rápida na prova.
Vou usar cálculo de derivadas. A ideia é que um mínimo interno de uma função diferenciável em um intervalo aberto ocorre em pontos críticos onde a derivada é zero; depois verificamos que esse ponto é realmente mínimo (segunda derivada positiva ou análise de sinais). Isso é um método padrão e direto que dá resposta rápida na prova.
Calcule a derivada de
. Em termos simples:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é (regra da potência: deriva para ).
Portanto,
Passo 5
Encontrar ponto crítico resolvendo
:
Isolando o termo com
:
Invertendo ambos os lados (ou multiplicando por
e dividindo por
):
Como
, temos
Passo 6
Determinar
a partir da área:
Usando e substituindo
:
Usando
Interpretação rápida e intuitiva: as partes mais caras da cerca (frente e fundo, R$500/m) ficaram com comprimento menor (
), enquanto as laterais (R$300/m) ficaram maiores (
). Faz sentido: para minimizar custo faz sentido reduzir o comprimento das partes mais caras.
Passo 7
Verificação de mínimo (segunda derivada):
Calcule . Derivando
:
Calcule
Para
temos
, logo a função é convexa e o ponto crítico encontrado é de fato um mínimo. Em particular, em
temos
, confirmando mínimo.
Passo 8
Calcular o custo mínimo correspondente:
Substituindo e
em
:
Substituindo
Calcule cada termo:
Somando:
Escrevendo em reais com centavos:
Resposta
Frente e fundo:
Laterais:
Custo mínimo:
Laterais:
Custo mínimo: