Uma caixa sem tampa com base quadrada, deve conter
. Determine as dimensões que minimizam a superfície total da caixa (a área da superfície total é a soma das áreas das 5 faces da caixa).
Passo 1
O enunciado pede as dimensões de uma caixa sem tampa (base quadrada) que devem conter
e que minimizam a superfície total. Informações e perguntas claras:
- A caixa tem base quadrada: se o lado da base for
, então a base tem área . - A caixa não tem tampa: a superfície total é a soma da área da base mais das quatro faces laterais.
- O volume exigido é
. - Pergunta que vamos responder: quais os valores de
(lado da base) e de (altura) que minimizam a superfície total, respeitando o volume fixo?
Passo 2
Escolha de variáveis e fórmulas básicas (explicação passo a passo).
- Definir variáveis:
-
= comprimento do lado da base (em ), com . -
= altura da caixa (em ), com .
-
- Fórmula do volume (porque base é quadrada e altura é
):
Aqui
é o volume (em
),
é a área da base e
é a altura.
- Fórmula da superfície total (sem tampa): uma base + 4 faces laterais retangulares de dimensão
:
Aqui
é a área total (em
) que queremos minimizar.
Passo 3
Aplicar a restrição do volume para eliminar uma variável.
- Sabemos que
. Então:
- Isolando
em função de :
Explicação: como o volume é fixo, podemos expressar a altura em termos do lado da base e assim transformar o problema em minimizar uma função de uma única variável
.
Passo 4
Substituir
na expressão da superfície para obter
como função de
apenas.
- Substituindo
em :
- Simplificando:
Observação: domínio físico é
. Agora reduzimos o problema a encontrar o mínimo de
para
.
Passo 5
Calcular a derivada de
e encontrar pontos críticos (passo a passo).
- Derivada de
. Lembrando: e .
- Igualar
para achar pontos críticos:
- Multiplicar ambos os lados por
(válido pois ):
- Isolando
:
- Tirando raiz cúbica:
Explicação: entre as raízes reais,
é a única positiva, que é a que interessa fisicamente.
Passo 6
Verificar que o ponto encontrado é mínimo (teste da segunda derivada).
- Calcular
. A partir de ,
- Avaliar em
:
Como
, a função
é convexa naquele ponto e
é um mínimo local. Como há apenas um ponto crítico no domínio
e
quando
ou
, esse mínimo é global.
Passo 7
Calcular a altura correspondente e interpretar (passo final de números fáceis).
- Usar a restrição do volume para achar
:
- Interpretação física: a caixa de base
e altura tem volume e é a configuração que minimiza a área total entre todas as caixas sem tampa com esse volume.
Resposta
Lado da base:
Altura:
Altura: