Uma caixa sem tampa com base quadrada, deve conter 32 \mathrm{~cm}^{3}. Determine as dimensões que minimizam a superfície total da caixa (a área da superfície total é a soma das áreas das 5 faces da caixa).

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de uma caixa sem tampa (base quadrada) que devem conter 32\\ \mathrm{cm}^3 e que minimizam a superfície total. Informações e perguntas claras:
  • A caixa tem base quadrada: se o lado da base for x, então a base tem área x^2.
  • A caixa não tem tampa: a superfície total é a soma da área da base mais das quatro faces laterais.
  • O volume exigido é 32\\ \mathrm{cm}^3.
  • Pergunta que vamos responder: quais os valores de x (lado da base) e de h (altura) que minimizam a superfície total, respeitando o volume fixo?

Passo 2

Escolha de variáveis e fórmulas básicas (explicação passo a passo).
  • Definir variáveis:
    • x = comprimento do lado da base (em \mathrm{cm}), com x>0.
    • h = altura da caixa (em \mathrm{cm}), com h>0.
  • Fórmula do volume (porque base é quadrada e altura é h):
V = x^2 h.
Aqui V é o volume (em \mathrm{cm}^3), x^2 é a área da base e h é a altura.
  • Fórmula da superfície total (sem tampa): uma base + 4 faces laterais retangulares de dimensão x\times h:
S = x^2 + 4(xh).
Aqui S é a área total (em \mathrm{cm}^2) que queremos minimizar.

Passo 3

Aplicar a restrição do volume para eliminar uma variável.
  • Sabemos que V = 32\\ \mathrm{cm}^3. Então:
x^2 h = 32.
  • Isolando h em função de x:
h = \frac{32}{x^2}.
Explicação: como o volume é fixo, podemos expressar a altura em termos do lado da base e assim transformar o problema em minimizar uma função de uma única variável x.

Passo 4

Substituir h na expressão da superfície para obter S como função de x apenas.
  • Substituindo h=\dfrac{32}{x^2} em S = x^2 + 4xh:
S(x)=x^2 + 4x\left(\frac{32}{x^2}\right).
  • Simplificando:
S(x)=x^2 + \frac{128}{x}.
Observação: domínio físico é x>0. Agora reduzimos o problema a encontrar o mínimo de S(x) para x>0.

Passo 5

Calcular a derivada de S(x) e encontrar pontos críticos (passo a passo).
  • Derivada de S(x)=x^2 + 128 x^{-1}. Lembrando: \dfrac{d}{dx} x^2 = 2x e \dfrac{d}{dx} x^{-1} = -x^{-2}.
S'(x)=2x - 128 x^{-2}.
  • Igualar S'(x)=0 para achar pontos críticos:
2x - 128 x^{-2} = 0.
  • Multiplicar ambos os lados por x^2 (válido pois x>0):
2x^3 - 128 = 0.
  • Isolando x^3:
2x^3 = 128 \quad\Rightarrow\quad x^3 = 64.
  • Tirando raiz cúbica:
x = \sqrt[3]{64} = 4.
Explicação: entre as raízes reais, x=4 é a única positiva, que é a que interessa fisicamente.

Passo 6

Verificar que o ponto encontrado é mínimo (teste da segunda derivada).
  • Calcular S''(x). A partir de S'(x)=2x - 128 x^{-2},
S''(x)=2 + 256 x^{-3}.
  • Avaliar em x=4:
S''(4)=2 + \frac{256}{4^3}=2 + \frac{256}{64}=2 + 4 = 6.
Como S''(4)>0, a função S(x) é convexa naquele ponto e x=4 é um mínimo local. Como há apenas um ponto crítico no domínio x>0 e S(x)\to+\infty quando x\to0^+ ou x\to+\infty, esse mínimo é global.

Passo 7

Calcular a altura correspondente e interpretar (passo final de números fáceis).
  • Usar a restrição do volume para achar h:
h=\frac{32}{x^2}=\frac{32}{4^2}=\frac{32}{16}=2.
  • Interpretação física: a caixa de base 4\\ \mathrm{cm}\times4\\ \mathrm{cm} e altura 2\\ \mathrm{cm} tem volume 4^2\cdot2=32\\ \mathrm{cm}^3 e é a configuração que minimiza a área total entre todas as caixas sem tampa com esse volume.

Resposta

Lado da base: 4\\ \mathrm{cm}
Altura: 2\\ \mathrm{cm}

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