Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{e^{t}}{e^{2 t}+1} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{t}}{e^{2t}+1}\,dt.
O conteúdo envolvido é integração por substituição, pois vemos e^t no numerador e e^{2t} no denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{t} \quad\Longrightarrow\quad du = e^{t}\,dt.
Assim a integral em t se transforma em integral em u:
\int \frac{e^{t}}{e^{2t}+1}\,dt = \int \frac{du}{u^{2}+1}.

Passo 3

Reconhecemos que
\int \frac{du}{u^{2}+1} = \arctan(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável original t com u=e^{t}, obtemos
\arctan\bigl(e^{t}\bigr) + C.

Resposta

\arctan(e^{t}) + C

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