Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sec} ^{2}(y) \cdot \operatorname{tg}(y) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{2}(y)\,\tan(y)\,dy.
O conteúdo aqui é integração por substituição, usando o fato de que a derivada de \tan(y) é \operatorname{sec}^{2}(y).

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = \tan(y),
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du = \operatorname{sec}^{2}(y)\,dy.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \operatorname{sec}^{2}(y)\,\tan(y)\,dy = \int u\,du.
Agora integramos em u:
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C.

Passo 4

Voltando à variável original y, substituímos u = \tan(y):
\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{\tan^{2}(y)}{2} + C.

Resposta

\frac{\tan^{2}(y)}{2} + C

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