Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{2 x+5}{x^{2}-x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{2x+5}{x^{2}-x-2}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é uma função racional, isto é, uma fração cujo numerador e denominador são polinômios: numerador 2x+5 e denominador x^{2}-x-2.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja \dfrac{2x+5}{x^{2}-x-2}.
  • Vamos procurar uma forma de escrever essa fração de maneira que facilite a integração (por exemplo, usando a identidade \int \dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)| quando possível, e decomposição em frações simples quando necessário).

Passo 2

Escolha do método: para frações racionais com grau do numerador menor que o grau do denominador (aqui 1<2) a técnica padrão é decomposição que leve a termos do tipo \dfrac{f'(x)}{f(x)} (logaritmo) e frações simples \dfrac{A}{x-a} (logaritmos também). Observação prática: o denominador tem derivada 2x-1, que é bem próximo do numerador 2x+5. Então uma boa estratégia é escrever o numerador como soma de 2x-1 (a derivada do denominador) mais um resto constante, separar a integral em duas e tratar cada parte.

Passo 3

Calcule a derivada do denominador e separe o numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-x-2\bigr)=2x-1.
Escrevemos
2x+5=(2x-1)+6.
Logo
\frac{2x+5}{x^{2}-x-2}=\frac{2x-1}{x^{2}-x-2}+\frac{6}{x^{2}-x-2}.
Portanto
\int \frac{2x+5}{x^{2}-x-2}\,dx=\int \frac{2x-1}{x^{2}-x-2}\,dx+\int \frac{6}{x^{2}-x-2}\,dx.

Passo 4

Integre o primeiro termo usando a fórmula \int \dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|. Aqui f(x)=x^{2}-x-2 e f'(x)=2x-1, portanto
\int \frac{2x-1}{x^{2}-x-2}\,dx=\ln\bigl|x^{2}-x-2\bigr| + C_1.
Explicação rápida dessa fórmula: se F(x)=\ln|f(x)| então F'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}, logo a integral de \dfrac{f'(x)}{f(x)} é \ln|f(x)|.

Passo 5

Agora integramos o segundo termo \displaystyle\int \frac{6}{x^{2}-x-2}\,dx. Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1),
pois (-2)\cdot 1=-2 e (-2)+1=-1. Então
\frac{6}{x^{2}-x-2}=\frac{6}{(x-2)(x+1)}.

Passo 6

Fazemos decomposição em frações simples:
\frac{6}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+1) obtemos
6=A(x+1)+B(x-2).
Para achar A e B use valores convenientes:
  • Para x=2: 6=A(3)+B(0)\Rightarrow A=2.
  • Para x=-1: 6=A(0)+B(-3)\Rightarrow B=-2.
    Logo
\frac{6}{(x-2)(x+1)}=\frac{2}{x-2}-\frac{2}{x+1}.

Passo 7

Integramos termo a termo:
\int \frac{6}{x^{2}-x-2}\,dx=\int \left(\frac{2}{x-2}-\frac{2}{x+1}\right)dx =2\ln|x-2|-2\ln|x+1|+C_2.
Aqui usamos \int \dfrac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.

Passo 8

Somando as duas partes (Passo 4 e Passo 7) e juntando constantes C=C_1+C_2, obtemos
\int \frac{2x+5}{x^{2}-x-2}\,dx=\ln\bigl|x^{2}-x-2\bigr|+2\ln|x-2|-2\ln|x+1|+C.
Podemos simplificar usando x^{2}-x-2=(x-2)(x+1). Então
\ln\bigl|x^{2}-x-2\bigr|=\ln|x-2|+\ln|x+1|,
e substituindo:
\ln|x-2|+\ln|x+1|+2\ln|x-2|-2\ln|x+1|=3\ln|x-2|-\ln|x+1|.
Portanto uma forma mais simples da primitiva é
3\ln|x-2|-\ln|x+1|+C.

Resposta

3\ln|x-2|-\ln|x+1|+C

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