Calcule as seguintes integrais indefinidas: \int \frac{2 x+5}{x^{2}-x-2} d x
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{2x+5}{x^{2}-x-2}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O integrando é uma função racional, isto é, uma fração cujo numerador e denominador são polinômios: numerador 2x+5 e denominador x^{2}-x-2.
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja \dfrac{2x+5}{x^{2}-x-2}.
Vamos procurar uma forma de escrever essa fração de maneira que facilite a integração (por exemplo, usando a identidade \int \dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)| quando possível, e decomposição em frações simples quando necessário).
Passo 2
Escolha do método: para frações racionais com grau do numerador menor que o grau do denominador (aqui 1<2) a técnica padrão é decomposição que leve a termos do tipo \dfrac{f'(x)}{f(x)} (logaritmo) e frações simples \dfrac{A}{x-a} (logaritmos também). Observação prática: o denominador tem derivada 2x-1, que é bem próximo do numerador 2x+5. Então uma boa estratégia é escrever o numerador como soma de 2x-1 (a derivada do denominador) mais um resto constante, separar a integral em duas e tratar cada parte.
Passo 3
Calcule a derivada do denominador e separe o numerador: