Encontre a solução geral do sistema
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(t)=2 a x_{1}(t)+x_{2}(t) \\\ x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+4 a x_{2}(t) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(t)=2 a x_{1}(t)+x_{2}(t) \\\ x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+4 a x_{2}(t) \end{array}\right.
O que se pede é a solução geral (x_{1}(t),x_{2}(t)) desse sistema, em função de parâmetros livres (constantes de integração) e do parâmetro a presente nas equações. \n
Informações relevantes dadas: as duas equações lineares de primeira ordem, com coeficientes constantes que dependem de a. Não há condições iniciais fornecidas, então deve-se apresentar a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de forma matricial — isso facilita a resolução. Definimos o vetor
x(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt]x_{2}(t)\end{pmatrix}
e a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}2a & 1\\[4pt]1 & 4a\end{pmatrix}.
O sistema fica
x'(t)=A\,x(t).
Explicação rápida: x'(t) é o vetor das derivadas \big(x_{1}^{\prime}(t),x_{2}^{\prime}(t)\big)^{T}. Resolver x'(t)=A x(t) equivale a encontrar combinações de vetores próprios de A multiplicadas por exponenciais e^{\lambda t}, onde \lambda são autovalores (ou seja, os valores que satisfazem \det(A-\lambda I)=0). Vou mostrar passo a passo como achar esses \lambda e os vetores próprios.]

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2a-\lambda & 1\\[4pt]1 & 4a-\lambda\end{pmatrix}.
Expandindo o determinante:
\det(A-\lambda I)=(2a-\lambda)(4a-\lambda)-1.
Multiplicando os termos:
(2a-\lambda)(4a-\lambda)=8a^{2}-2a\lambda-4a\lambda+\lambda^{2}= \lambda^{2}-6a\lambda+8a^{2}.
Subtraindo 1:
\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}-6a\lambda+8a^{2}-1.]

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática
\lambda^{2}-6a\lambda+8a^{2}-1=0
usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta=( -6a)^{2}-4\cdot 1\cdot(8a^{2}-1)=36a^{2}-32a^{2}+4=4(a^{2}+1).
Portanto \sqrt{\Delta}=2\sqrt{a^{2}+1}. As raízes são
\lambda=\frac{6a\pm 2\sqrt{a^{2}+1}}{2}=3a\pm\sqrt{a^{2}+1}.
Definimos, para simplificar, \displaystyle s=\sqrt{a^{2}+1}. Assim os autovalores são
\lambda_{+}=3a+s,\qquad \lambda_{-}=3a-s.
Observação didática: \,s>0 para todo a, então os autovalores são reais distintos, o que implica que teremos duas direções próprias linearmente independentes e, portanto, uma solução geral dada por combinação linear das exponenciais associadas.

Passo 5

Vamos achar um vetor próprio associado a \lambda_{+}. Precisamos resolver
(A-\lambda_{+}I)v=0,
ou explicitamente
\begin{pmatrix}2a-\lambda_{+} & 1\\[4pt]1 & 4a-\lambda_{+}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha obtemos
(2a-\lambda_{+})v_{1}+v_{2}=0\quad\Rightarrow\quad v_{2}=(\lambda_{+}-2a)v_{1}.
Calculamos \lambda_{+}-2a=(3a+s)-2a=a+s. Portanto podemos escolher v_{1}=1 e tomar o autovetor correspondente como
v^{(+)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]a+s\end{pmatrix}.
Analogamente, para \lambda_{-} a mesma manipulação dá
v^{(-)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]a-s\end{pmatrix},
pois \lambda_{-}-2a=(3a-s)-2a=a-s. Esses dois vetores são claramente linearmente independentes (as segundas entradas são diferentes), como esperado para autovalores distintos.]

Passo 6

A solução geral do sistema x'(t)=A x(t), quando existem dois autovalores reais distintos \lambda_{+} e \lambda_{-} com vetores próprios v^{(+)} e v^{(-)}, é a combinação linear
x(t)=C_{1}\,v^{(+)}e^{\lambda_{+}t}+C_{2}\,v^{(-)}e^{\lambda_{-}t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinar-se-iam a partir de condições iniciais). Substituindo os vetores e autovalores encontrados:
x(t)=C_{1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]a+s\end{pmatrix}e^{(3a+s)t}+C_{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]a-s\end{pmatrix}e^{(3a-s)t}.]

Passo 7

Para deixar mais explícito em coordenadas, escrevemos as componentes x_{1}(t) e x_{2}(t):
x_{1}(t)=C_{1}e^{(3a+s)t}+C_{2}e^{(3a-s)t},
x_{2}(t)=(a+s)C_{1}e^{(3a+s)t}+(a-s)C_{2}e^{(3a-s)t},
onde \displaystyle s=\sqrt{a^{2}+1} e C_{1},C_{2} são constantes reais arbitrárias. \n
Pequeno lembrete prático: se você tiver condições iniciais x_{1}(0)=x_{1}^{0}, x_{2}(0)=x_{2}^{0}, é só impor t=0 nessas expressões e resolver o sistema linear para C_{1},C_{2}.

Resposta

x_{1}(t)=C_{1}e^{(3a+\sqrt{a^{2}+1})t}+C_{2}e^{(3a-\sqrt{a^{2}+1})t}\n
x_{2}(t)=(a+\sqrt{a^{2}+1})C_{1}e^{(3a+\sqrt{a^{2}+1})t}+(a-\sqrt{a^{2}+1})C_{2}e^{(3a-\sqrt{a^{2}+1})t}

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