Encontre a solução geral do sistema
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais
O que se pede é a solução geral
desse sistema, em função de parâmetros livres (constantes de integração) e do parâmetro
presente nas equações. \n
Informações relevantes dadas: as duas equações lineares de primeira ordem, com coeficientes constantes que dependem de . Não há condições iniciais fornecidas, então deve-se apresentar a solução geral com constantes arbitrárias.
Informações relevantes dadas: as duas equações lineares de primeira ordem, com coeficientes constantes que dependem de
Passo 2
Vamos escrever o sistema de forma matricial — isso facilita a resolução. Definimos o vetor
e a matriz de coeficientes
O sistema fica
Explicação rápida:
é o vetor das derivadas
. Resolver
equivale a encontrar combinações de vetores próprios de
multiplicadas por exponenciais
, onde
são autovalores (ou seja, os valores que satisfazem
). Vou mostrar passo a passo como achar esses
e os vetores próprios.]
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de
:
Expandindo o determinante:
Multiplicando os termos:
Subtraindo 1:
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
Portanto
. As raízes são
Definimos, para simplificar,
. Assim os autovalores são
Observação didática:
para todo
, então os autovalores são reais distintos, o que implica que teremos duas direções próprias linearmente independentes e, portanto, uma solução geral dada por combinação linear das exponenciais associadas.
Passo 5
Vamos achar um vetor próprio associado a
. Precisamos resolver
ou explicitamente
Da primeira linha obtemos
Calculamos
. Portanto podemos escolher
e tomar o autovetor correspondente como
Analogamente, para
a mesma manipulação dá
pois
. Esses dois vetores são claramente linearmente independentes (as segundas entradas são diferentes), como esperado para autovalores distintos.]
Passo 6
A solução geral do sistema
, quando existem dois autovalores reais distintos
e
com vetores próprios
e
, é a combinação linear
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam a partir de condições iniciais). Substituindo os vetores e autovalores encontrados:
Passo 7
Para deixar mais explícito em coordenadas, escrevemos as componentes
e
:
onde
e
são constantes reais arbitrárias. \n
Pequeno lembrete prático: se você tiver condições iniciais ,
, é só impor
nessas expressões e resolver o sistema linear para
.
Pequeno lembrete prático: se você tiver condições iniciais